¿Tiene el $E_8$ -¿se ha demostrado la función generadora basada en los números cuadrados?

Question

En su artículo de 2004 Teoría de campos conformes y elementos de torsión del grupo de Bloch Nahm explica un argumento físico debido a Kadem, Klassen, McCoy y Melzer para la siguiente identidad notable. Sea $C \in \operatorname{Mat}_8(\mathbb{Z})$ denotan la inversa de la matriz de Cartan de $E_8$ y $(q)_n = \prod_{i=1}^n (1 - q^i)$ . Entonces

$$\sum_{n=\mathbb{N}} \frac{q^{2n^2}}{(q)_{2n}} = \sum_{v \in \mathbb{N}^8} \frac{q^{vCv}}{\prod_{j=1}^8 (q)_{v_j}}$$

Nahm informa de que, en el momento de escribir este artículo, en 2004, la identidad del resultado aún no está demostrada matemáticamente, porque los argumentos se basan en hechos aún no demostrados sobre las teorías de campo conformes, pero que se ha comprobado en órdenes altos.

Han pasado 14 años. ¿Se ha demostrado la identidad anterior en ese tiempo, ya sea afianzando los fundamentos de la teoría de campos conformes o por otros medios?

Answer 1

Esta identidad se demostró en realidad hace 24 años en

S.O. Warnaar y P.A. Pearce, "Estructura excepcional del modelo A 3 diluido: Identidades Rogers-Ramanujan E8 y E7" J.Phys. A27 (1994) L891-L898

La prueba establece esencialmente una identidad polinómica finita cuyo límite bajo uno de los parámetros se convierte en la serie deseada. Quiero comentar que Nahm llama a esta identidad una conjetura en la versión arXiv del artículo, pero en la versión publicada se remite correctamente al artículo anterior para una demostración.