¿Cuál es el número óptimo de dados para lanzar un Yahtzee en un solo rollo?

Question

Descripción

En el juego de Yahtzee, 5 dados son lanzados para determinar una puntuación. Una de las resultantes de los rollos que se llama un Yahtzee.

Para rodar un Yahtzee debe tener 5 de una clase. (5 a 1 o 5 a 2 o 5 a 3, etc..).

En el juego de Yahtzee que solo puedes tener 5 dados. Sin embargo, para el propósito de esta pregunta quiero entretener a la adición de más dados a la ecuación. Por lo tanto, me gustaría definir un Yahtzee de la siguiente manera:

Para rodar un Yahtzee debe tener exactamente 5 de una clase, ni más ni menos. (5 a 1 o 5 a 2 o 5 a 3, etc..).

Ejemplos

Echemos un vistazo a algunos de los rollos con 6 dados

La siguiente sería una Yahtzee:

1 1 1 1 1 4

6 3 3 3 3 3

5 5 3 5 5 5

La siguiente no sería un Yahtzee:

1 1 1 3 3 3

1 1 1 1 5 3

1 1 1 1 1 1

- Tenga en cuenta que el último censo hace técnicamente contienen de 5 a 1, sin embargo, porque el rollo como una totalidad contiene 6 1 este no es un Yahtzee.

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Echemos un vistazo a algunos de los rollos con 12 dados

La siguiente sería una Yahtzee:

1 1 2 1 2 1 4 4 1 3 6 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

- Tenga en cuenta que la primera tirada es un Yahtzee con 5 a 1, este rollo es para ilustrar que el orden no importa.

- Tenga en cuenta que el segundo rollo tiene 2 Yahtzees, esto es un rollo que cuenta como un Yahtzee

- Tenga en cuenta que el tercer rollo tiene un Yahtzee con 1 pero tiene 7 2. Este rollo es un Yahtzee porque contiene exactamente 5 1. El 7 de 2 de no anular este rollo.

La siguiente no sería un Yahtzee:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6

- Tenga en cuenta que el último censo tiene 6 1 y 6 6. Porque exactamente 5 de un número (no más, no menos) no está presente, este rollo no contiene un Yahtzee.

La Pregunta

¿Cuál es el número óptimo de dados para rodar un Yahtzee en un rollo?

Una forma más genérica de la pregunta es la siguiente: Dado $n$ dados, ¿cuál es la probabilidad de sacar un Yahtzee de longitud $y$ en un rollo.

Answer 1

Por medio de la inclusión-exclusión, el pleno de la probabilidad de Yahtzee es: $$\frac{1}{6^n}\sum_{k=1}^{\min(6,n/5)} (-1)^{k+1} \binom{6}{k} (6-k)^{n-5k} \prod_{j=0}^{k-1} \binom{n-5j}{5}.$$ Si lo prefiere, escriba el producto con un multinomial: $$\prod_{j=0}^{k-1} \binom{n-5j}{5}=\binom{n}{5k}\binom{5k}{5,\dots,5}.$$ Se parece a $n=29$ es el único número óptimo de dados: \begin{matrix} n &p\\ \hline 28 &0.71591452705020 \\ 29 &0.71810623718825 \\ 30 &0.71770441391497 \\ \end{de la matriz}

Aquí está el SAS código que he usado:

proc optmodel;
   set NSET = 1..100;
   num p {n in NSET} = 
      (1/6^n) * sum {k in 1..min(6,n/5)} (-1)^(k+1) 
      * comb(6,k) * (if k = 6 and n = 5*k then 1 else (6-k)^(n-5*k)) 
      * prod {j in 0..k-1} comb(n-5*j,5);
   print p best20.;
   create data outdata from [n] p;
quit;

proc sgplot data=outdata;
   scatter x=n y=p;
   refline 29 / axis=x;
   xaxis values=(0 20 29 40 60 80 100);
run;

Answer 2

Como una alternativa, podemos utilizar el método simbólico para deducir que la generación de la función de la clase de todos los rollos que no contengan un Yahtzee es dada por

$$ f(z) = (e^z - z^5/5!)^6 $$

while the generating function for all rolls is

$$ g(z) = (e^z)^6. $$

The probability that a roll of $n$ dice yields a Yahtzee is given by

$$ 1-[z^n]f(z)/[z^n]g(z). $$

El Uso De Mathematica:

f[z_] := (Exp[z] - z^5/5!)^6;
g[z_] := Exp[z]^6;
ans[n_] := 
  1 - SeriesCoefficient[f[z], {z, 0, n}]/
    SeriesCoefficient[g[z], {z, 0, n}];
DiscretePlot[ans[n], {n, 10, 40}]