Es la unión arbitraria de bolas cerradas en $\mathbb{R}^n$ ¿Medible de Lebesgue?

Question

Es una unión arbitraria de bolas cerradas no triviales en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ ¿Medible de Lebesgue? Si es así, ¿es un conjunto de Borel?

@George

Todavía tengo dos preguntas con respecto a su esbozo de prueba.

En primer lugar, ¿cómo se puede garantizar que cada una de las bolas abiertas de la unión contable tenga un radio mayor o igual a 1?

En segundo lugar, no sé cómo utilizar la convexidad para demostrar $\mu (B') \leq (1+\epsilon)^{N}\mu(B)$

Answer 1

No, en la dimensión $N>1$ no tiene que ser medible por Borel. Por ejemplo, en 2 dimensiones, consideremos un subconjunto no medible por Borel de los reales $S$ y que $A$ sea la unión de bolas unitarias cerradas centradas en los puntos $(x,0)$ para todos $x\in S$ . La intersección de $A$ con $\mathbb{R}\times \{1\}$ es el conjunto no Borel $S \times \{1\}$ Así que $A$ no es Borel.

Por otro lado, para $N=1$ cualquier unión de intervalos cerrados no triviales es medible por Borel. Si $A$ es una unión de este tipo y $B$ es la unión de los interiores abiertos, entonces se puede ver que $A$ es simplemente la unión de $B$ con (a lo sumo un número contable) de puntos finales de componentes conectados de $B$ .

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Medibilidad de Lebesgue hace sin embargo. Faisal publicó un enlace para esto mientras yo estaba escribiendo mi respuesta, pero creo que aún así vale la pena dar un breve esbozo de la prueba que estaba empezando a escribir (Edición: añadido más detalles, como se pidió).

1. Reducir el problema al de las bolas con al menos algún radio positivo $r$ y dentro de una región delimitada. Para ello, supongamos que $S$ es el conjunto de bolas cerradas y $S_r$ denota las bolas de radio mínimo $r$ y con centro no más allá de $r$ desde el origen. Entonces, $$ \cup S=\bigcup_{n=1}^\infty\left(\cup S_{1/n}\right). $$ Como los conjuntos medibles son cerrados bajo uniones contables, basta con demostrar que $\cup S_r$ es medible por Lebesgue para cada $r>0$ . Por lo tanto, podemos suponer que todas las bolas tienen un radio de al menos $r$ y están a una distancia limitada del origen.

2. Dejemos que $A$ sea la unión de las bolas cerradas, y $B\subseteq A$ sea la unión de sus interiores. Ésta es abierta, por lo que, por segunda contabilidad, es una unión de un número contable de bolas abiertas de radio al menos $r$ . También, $A$ se encuentra entre $B$ y su cierre $\bar B$ .

3. Demuestre que el límite $\bar B\setminus B$ de $B$ tiene medida cero. Si escalamos el radio de cada una de la secuencia contable de bolas abiertas utilizadas para obtener $B$ por un factor $1+\epsilon$ para obtener el nuevo conjunto $B^\prime$ entonces $\mu(B^\prime)\le(1+\epsilon)^N\mu(B)$ . Demostrar esto es la parte complicada, pero se deduce de la convexidad de las bolas: Si las bolas tienen radio $r_k$ y centros $x_k$ , entonces considere los conjuntos $$ B_t=\bigcup_{k=1}^\infty B(r_k,tx_k) $$ de verdad $t$ para que $B_1=B$ . La función $t\mapsto\mu(B_t)$ está aumentando en $t\ge0$ * . También, $B^\prime= (1+\epsilon)B_{1/(1+\epsilon)}$ dando, $$ \mu(B^\prime)=(1+\epsilon)^{N}\mu(B_{1/(1+\epsilon)})\le(1+\epsilon)^{N}\mu(B) $$ como se ha reclamado. Como $\bar B\subseteq B^\prime$ obtenemos $\mu(\bar B\setminus B)\le((1+\epsilon)^N-1)\mu(B)$ que puede hacerse tan pequeño como queramos eligiendo ε pequeño.

* Edición: en mi respuesta inicial, estaba pensando que esta respuesta es suficiente para demostrar que $\mu(B_t)$ está aumentando en $t$ . Sin embargo, como señala Mizar en los comentarios más abajo, esto no está claro. De hecho, no creo que podamos reducirlo a ese caso. Sin embargo, el resultado sigue siendo cierto, por la Conjetura de Kneser-Poulson . Esto afirma que si los centros del conjunto de bolas unitarias en el espacio euclidiano se alejan, la medida de su unión aumenta. Aunque sólo es una conjetura, se ha demostrado para movimientos continuos, lo que se aplica en nuestro caso. Además, si se expresa cada bola de radio mayor que un valor arbitrariamente pequeño $r > 0$ como una unión de bolas de radio $r$ entonces sigue siendo válido en nuestro caso para bolas de radios no iguales.

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Edición: tras ver la explicación de Faisal, la prueba que esbozo aquí es completamente diferente a la suya. El resultado que cita Faisal es un poco más general, ya que se aplica a los conjuntos convexos con interiores no vacíos, y no sólo a las bolas. Sin embargo, la prueba dada anteriormente también funciona para conjuntos convexos simétricos con interiores no vacíos. Como todo conjunto convexo con interior no vacío es una unión de (traslados de) simétricos, esto implica el mismo resultado

Answer 2

Una búsqueda en Google revela que una unión arbitraria de conjuntos convexos (no degenerados) es medible por Lebesgue: véase

Balcerzak y Kharazishvili. Sobre uniones e intersecciones incontables de conjuntos medibles . Matemáticas de Georgia. J. 6 (1999), no. 3, 201-212.

Editar : Como se pidió, aquí está un resumen de la prueba.

Los autores demuestran que una unión arbitraria de (cerrado, no degenerado) $n$ -simples $\{ S_t \}_{t \in T}$ en $\mathbb{R}^n$ es medible por Lebesgue. Primero una definición preliminar:

Un conjunto acotado $X \subset \mathbb{R}^n$ se dice que $\alpha$ -regular , para $\alpha$ un número real positivo, si $\lambda(X) \geq \alpha \lambda(V(X))$ , donde $V(X)$ es una bola cerrada de diámetro mínimo para la que la inclusión $X \subset V(X)$ se mantiene.

Obsérvese que un $n$ -simplemente es $\alpha$ -regular para algunos $\alpha \in (0,1]$ . Así,

$$ \bigcup_{t \in T} S_t = \bigcup_{m=1}^\infty \ \bigcup \{ S_t \colon S_t \text{ is } \textstyle{\frac{1}{m}}\text{-regular} \}. $$

Así que para demostrar que $\cup_t S_t$ es medible por Lebesgue, basta con demostrar que $X_m = \cup \{ S_t \colon S_t \text{ is } \frac{1}{m}\text{-regular} \}$ es medible por Lebesgue para todo $m \in \mathbb{Z}_{>0}$ . Para ello, teniendo en cuenta $x \in S_t$ y $c \in (0,1)$ , dejemos que $S_t(x,c)$ denotan la imagen de $S_t$ bajo el mapa $y \mapsto x + c(y-x)$ . Entonces

$$ \mathcal{F}_m = \{ S_t(x,c) \colon S_t \text{ is } \textstyle{\frac{1}{m}}\text{-regular}, x \in S_t, c \in (0,1) \} $$

es un recubrimiento Vitali de $X_m$ . El teorema de cobertura de Vitali nos lleva ahora a casa: la subcolección contable $\mathcal{F}_m^\ast \subset \mathcal{F}_m$ producido por el teorema tiene una unión medible de Lebesgue $\cup \mathcal{F}_m^\ast$ que también satisface

$$ \bigcup \mathcal{F}_m^\ast \subset X_m \quad\text{and}\quad \lambda(X_m \backslash \bigcup \mathcal{F}_m^\ast) = 0. $$

Answer 3

EDIT: Aunque digo que la separabilidad puede ser importante en la respuesta de abajo, creo que tener una base contable (¿segunda contable?) es aún más importante para la respuesta. FIN DE EDICIÓN.

Dado que R^n es separable ( tiene un subconjunto denso contable), la unión arbitraria puede ser reemplazable por una unión contable. Si es así, entonces el conjunto es Borel. Asumo que cada bola cerrada tiene radio no trivial y puede ser aproximada por una unión de una colección contable de bolas cerradas ( o sus complementos por una unión contable de bolas abiertas ).

Nótese que la separabilidad es clave aquí, así como la no trivialidad de cada bola cerrada de la colección.

Gerhard "Pregúntame sobre el diseño de sistemas" Paseman. 2010.10.26