Estado actual de la hipótesis de homotopía de Grothendieck y el programa de homotopía algebraica de Whitehead

Question

(Descargo de responsabilidad: yo no soy un experto en homotopy la teoría ni en las categorías superiores!) Si he entendido correctamente, Grothendieck del homotopy hipótesis establece que debe haber una equivalencia (de $(n+1)$-categorías) entre "homotopy $n$-tipos" e $n$-groupoids. Donde, por "homotopy $n$-tipos" es probablemente significaba la $(\infty,n+1)$-categoría en la que se (nice) espacios topológicos a la desaparición de los homotopy grupos por encima de la $n$-th como objetos, y más morfismos dado por homotopies y homotopies-entre-homotopies etc. Y por "$n$-groupoid" es, probablemente, entendida $(\infty,n)$-groupoid.

Edit: la homotopy tipos probablemente se definen algunos de localización de las cosa que he dicho anteriormente?

La medida tiene el homotopy hipótesis ha probado? Por "demostrado" me refiero a instrucciones precisas y rigurosas pruebas, no sólo "filosófica" de pruebas; y no "tautológica" soluciones en las que homotopy tipos están definidos para ser $\infty$-groupoids en el primer lugar.

Todo esto encaja en el contexto de Whitehead del algebraicas homotopy programa

Cual es el estado actual del programa, tanto en el sentido de la formalización y de la prueba?

Cómo puede cualquier avance en el programa de realizarse en todos los si Grothendieck la conjetura no está completamente probado primero?

Answer 1

El problema es que la cuestión es altamente dependiente de la definición de $n$-groupoids. La noción de estricto $n$-groupoid es muy clara y precisa, pero sabemos muy bien (y Grothendieck sabía que) de que el homotopy hipótesis es falsa si sólo utilizamos estricto groupoids.

Uno necesita usar débiles $n$-groupoids (donde, por ejemplo, la composición es asociativa hasta isomorfismo y por lo tanto uno). Pero no hay una única definición de lo que un $n$-groupoids es. Hay un montón de no-definiciones equivalentes, que se supone que son para convertirse en equivalente de una vez que nos movemos a "homotopy categorías".

Por ejemplo, incluso para $2$-groupoids, usted podría pedir a tener un binario de la composición de la operación a la que se compone de dos (extensible) flechas y satisface la asociatividad hasta isomorfismo, además de la condición de coherencia entre la asociatividad isomorphisms, o bien, siga el "imparcial" ruta de acceso y el tiene para cada uno de los $n$ a $n$-ary composición de la operación que componen la cadena de (extensible) $n$ flechas además de la compatibilidad isomorphisms entre estas operaciones. Los dos enfoques no son estrictamente equivalentes, pero producirá los mismos "homotopy categoría" (es decir, será el equivalente si sólo se considera groupoids hasta categórica de equivalencia).

Por ejemplo, la adopción de "Kan complejo" como una definición de la $\infty$-groupoids puede ser considerado como una opción razonable y no como le dijo un "tautológica soluciones en las que homotopy se definen tipos de $\infty$-groupoids en el primer lugar":

En un complejo de Kan, usted tiene una idea de $n$-morfismos y se puede componer de ellos y así sucesivamente. Es puramente algebraica noción de alguna manera supongo que podría ser considerado como una respuesta a la Whitehead programa, dependiendo de cómo se interprete la vaga formulación dada en el enlace que mencionas. Finalmente, la equivalencia entre la homotopy categoría de los espacios y de los complejos de Kan es un lugar que no trivial resultado de confiar en una "aproximación algebraica" resultado (el "simplicial aproximación teorema").

(Mi comprensión de la historia es que la comprensión de que uno puede hacer homotopy teoría puramente algebraica utilizando simplicial establece de la siguiente manera a partir de Kan del trabajo en los años 50, por lo que unos pocos años después de Whitehead ICM hablar, pero no sé mucho acerca de él, así que tal vez alguien podría aclarar esto ? )

En Perseguir Pilas, Grothendieck hizo dio una definición diferente de $\infty$-groupoid, que se siga una "globular" combinatoria, es decir, cuando en lugar de simplex como en complejos de Kan, uno acaba de tener una noción de $n$-flechas entre cada par de paralelas o $n-1$-flechas y las operaciones sobre los mismos. Por el "homotopy hipótesis de" uno a menudo se refieren a la declaración de que el homotopy categoría de Grothendieck $\infty$-groupoids es equivalente a la homotopy categoría de espacios. (véase G. Maltsiniotis papel en esto )

Esta versión de la homotopy hipótesis es todavía muy abierta.

Por otro lado, una prueba de esta versión de la homotopy hipótesis no parece que podría ofrecer una mejor respuesta a la Whitehead programa que en un complejo de Kan: es, básicamente, no es más fácil para calcular homotopy clases de mapas con globular $\infty$-groupoids que es con complejos de Kan. La única diferencia entre los dos es el tipo de combinatoria que usted tiene que describir su $n$-flechas y las relaciones entre ellos. Un poco en la misma línea que el ejemplo dado en el principio con $2$-groupoids.

Por último, si se me permite citar mi propio trabajo (que creo que aportar algo de luz sobre la cuestión), en un reciente papel me dio una definición diferente de $\infty$-groupoid, que es todavía globular (es decir, donde acaba de tener una colección de $n$-flechas entre cada par de paralelas $n-1$-flechas y algunos operación de uno de esos), pero de los que uno puede demostrar que la homotopy hipótesis. Estos groupoids puede ser definido de manera informal como globular conjuntos equipadas con todas las operaciones que se pueden construir en un tipo en una versión débil de tipo intencional de la teoría.

También he probado en el mismo papel que Grothendieck formulación de la homotopy hipótesis implícita por parte de algunos técnicos de conjeturas sobre el comportamiento de homotopy grupo de finitely generado Grothendieck $\infty$-groupoids, que puede ser doblemente entendida como el hecho de que ciertas operaciones que se deben realizar en las flechas en un $\infty$-groupoid de hecho puede ser definido a partir de las operaciones de Grothendieck se pone su $\infty$-groupoids (porque el mapa entre finitely objeto generado, son las mismas que las operaciones...).

Creo que mis resultados muestran que nuestra incapacidad para demostrar Grothendieck la formulación de la homotopy hipótesis no tiene nada que ver con una incapacidad para expresar homotopy tipo como $\infty$-groupoids, sino más bien con algunas técnicas combinatorias de las dificultades inherentes a la Grothendieck definición (básicamente, que no está totalmente claro, sin embargo, si Grothendieck la definición de $\infty$-groupoid es 'correcta' y que se porten bien).

Answer 2

Creo que esta pregunta es interesante, y los dos enfoques se deben comparar. Tengo más conocimiento de Whitehead del programa, y se han involucrado con los demás en el desarrollo de los aspectos de ese programa. Un informe sobre el fondo de la parte de que el trabajo es en el papel de la Modelización y Computación Homotopy Tipos: I, a aparecer en el 2017 en una edición especial de Indagationes Mathematicae en honor de L. E. J. Brouwer. Una característica notable de esta obra es que no se trata con "bare" espacios pero con "Topológico de Datos", y esto de alguna manera refleja Grothendieck del punto de vista expresado en "Esquisse d'un Programa" de la Sección 5. También entre los objetivos de Whitehead del trabajo fue la introducción de los invariantes que permiten específicos de cálculo, e incluso si es posible enumeración.

Debo explicar que tiene de 1965 a 1974 tratado de definir un espacio de $X$ un estricto homotopy doble groupoid que podría satisfacer un van Kampen tipo de Teorema, y así permitir cálculos específicos, fue un gran alivio encontrar con Felipe Higgins que esto se podía hacer de una forma natural e intuitiva para un par de $(X,A,c)$ de la punta de los espacios mediante la asignación de la plaza de la $I^2$ a $X$, de modo que los bordes de $I^2$ asignado a $A$ y los vértices asignan a $c$. Esto le dio una gran generalización de un complicado teorema sobre la libre cruzado módulos, demostrado en la Sección 16 de la de 1949 papel "Combinatoria Homotopy II" (CHII).

Además de esta definición de homotopy doble groupoid generalizada, con una considerable cantidad de trabajo, y a todas las dimensiones usando filtrado espacios, continuando así Whitehead del programa de CHII.

La algebraica de los datos utilizados aquí de estricta cúbica $\omega$-groupoids, y el equivalente cruzado complejos, no el modelo de todos los homotopy tipos, y, de hecho, contienen en esencia, sólo "lineal" de la información, es decir, no Whitehead productos, por ejemplo. Sin embargo, estos modelos contienen más información que los complejos de la cadena con un grupo de operadores, de conformidad con la observación de Whitehead en CHII.

Sin embargo, una reunión con J.-L. Loday en 1981 en Estrasburgo comenzó nuestro vínculo con su trabajo en lo que él llama $n$-cat-grupos, y después hemos acordado llamar cat$^n$-grupos, y que se $n$veces groupoids en el que una dirección es un grupo. Loday había probado en 1982 modelado señaló homotopy $(n+1)$-tipos. Hemos conjeturado, a continuación, y, finalmente, resultó ser un van Kampen tipo de teorema en el contexto de $n$-cubos de espacios; esta obra fue finalmente aceptado por la revista de la Topología, y un compañero artículo fue aceptado para el Proc. Londres Matemáticas Soc, tanto que aparecen en 1987. El último documento resultó ser un $n$-ádico Hurewicz Teorema, el triádica versión de que fue una conjetura de Loday en 1981.

En realidad Grothendieck se opuso a la punta de la condición, y no reconocer lo que se había logrado - él siempre quería que la mayoría de las condiciones generales! Sin embargo, un aspecto de la obra con Loday, un nonabelian producto tensor de grupos que actúan en cada uno de los otros, ha sido bien recibido por el grupo de teóricos, y una corriente bibliografía 158 elementos que data de 1952.

H.-J. Baues en varios libros ha continuado aspectos de Whitehead del programa, pero él no se aplica el Marrón-Loday de trabajo, y sus modelos no cumplen los Criterios establecidos en el Apartado 1 del artículo citado "Modelización y Computación Homotopy Tipos:I". Sin embargo papel II de que se ha retrasado por diversas razones de salud.

Este papel, en un volumen en memoria de J. F. Adams, se refiere a la obra de G. J. Ellis y R. Steiner que se aplica el Marrón-Loday de trabajo para resolver un viejo problema en homotopy teoría, en la que Whitehead había escrito, para determinar el valor de la crítica (es decir, primero la no desaparición) de grupo de una $(n+1)$-ad.

Contemplando de nuevo en esquisses d'un Programa, parece que el programa tiene en la actualidad poca relación con Whitehead; pero una 1983 carta de Grothendieck para el escritor, reimpreso como Problema 16.1.29 de Nonabelian Topología Algebraica, puede sugerir que a pesar de su interés en el 2-d teorema de van Kampen, la falta de progresos en las cuestiones que plantea indica una limitación de este escritor.

Grothendieck estaba muy interesado en un punto en la idea que transmiten ese $n$veces groupoids modelo homotopy $n$-tipos. Pero esto no es cierto como se indica incluso para $n=2$, ya que el $2$veces groupoids puede ser mucho más complicado que cruzó los módulos a través de groupoids, que son un buen modelo de homotopy $2$-tipos, y son equivalentes a un tipo especial de doble groupoid.

Añadido 18/04/2017: Una observación final es que en mi trabajo con Higgins el cúbico aspecto es esencial, y análogos resultados no han sido obtenidos por simplicial métodos. Sin embargo, el trabajo con Loday hace uso también de avanzada simplicial métodos para la prueba del resultado principal. En ambos casos, el cúbico métodos se utilizan para expresar múltiples composiciones, que son difíciles simplicially.