¿Qué hay de las pilas de categorías en geometría algebraica?

Question

Las stacks de espacios de módulos fueron introducidas para llevar un registro de los automorfismos no triviales de los objetos que parametrizan. En esencia, son grupoides de objetos con cierta cohesión geométrica. El ejemplo clásico son los haces/torsores principales, cuya categoría entera es en realidad un grupoide. Pero ¿qué hay de los objetos que uno podría querer parametrizar que tienen mapas no invertibles entre ellos, como los haces vectoriales o los haces coherentes? Uno podría imaginar un stack de tales objetos, porque se 'pegan' como lo hacen los haces principales, pero si uno lleva un registro de todos los mapas, esto debería ser una categoría, no un grupoide. Ciertamente merece ser promovido a algo geométrico, y por lo tanto se podría presentar por una categoría en espacios algebraicos o esquemas, mucho como los stacks con los que estamos más familiarizados se presentan mediante grupoides algebraicos.

Algunos podrían argumentar que tenemos tópicos clasificadores o similares para estas situaciones, y eso está muy bien, pero ¿qué hay de algo de geometría en estos tópicos? Conozco dos enfoques diferentes sobre los tópicos clasificadores de una pequeña categoría (interna), un enfoque que implica funtores planos y el otro torsores para el grupoide de todos los morfismos invertibles de la categoría en cuestión. Entre estas dos definiciones competidoras, hay argumentos (al menos en mi propia cabeza, demasiado difusos para develar aquí) en ambas direcciones, y ejemplos concretos de dónde se usan stacks de categorías en un contexto geométrico ciertamente inclinarían el equilibrio en una dirección u otra. Esta no es la única razón por la que me gustaría saber la respuesta a esta pregunta, pero tiene cierta relevancia, y ya he hablado lo suficiente al respecto.

Pregunta: ¿Se presentan stacks $\operatorname{Sch}^{op} \to \operatorname{Cat}$ de categorías en algún lugar de la geometría algebraica, de modo que se consideren presentaciones por categorías internas en $\operatorname{Sch}$? Si es así, ¿cómo se especifica la presentación? Si no, ¿por qué no? ¿Y hay algo que nos impida hacerlo? (Razones técnicas, terminológicas, u otras técnicas que sean mejores, etc.)

Answer 1

La definición de categoría teórica de pilas (como se da, por ejemplo, en Giraud: Cohomologie non-abélienne) permite categorías arbitrarias como objetivos (sin embargo, la condición de la pila solo implica isomorfismos). Un ejemplo natural es la categoría de gavillas cuasicoherentes (que tiene a la categoría de haces vectoriales como subcategoría). Sin embargo, cuando se habla de pilas algebraicas (que son pilas teóricas de categorías que cumplen condiciones adicionales) solo involucran isomorfismos. Nota que cualquier pila al restringirla a isomorfismos resulta en una pila de grupoide. Es lo que se hace cuando se considera la pila algebraica de haces vectoriales: Comienza con la pila de haces vectoriales con morfismos arbitrarios. Esto no es una pila algebraica, pero al restringirla a isomorfismos la convierte en una.

Las pilas generales (con no-isomorfismos) se utilizan extensamente ya que codifican la idea de descenso. Esto es algo un poco diferente a las pilas algebraicas que intentan codificar la idea de un problema de módulos.

Addendum: Todos los morfismos en un dato de descenso son isomorfismos (de hecho, esto se sigue y no hay que asumirlo). Sin embargo, el descenso completo significa que puedes descender objetos (un dato de descenso de objetos proviene de un objeto de abajo) pero también morfismos arbitrarios (un dato de descenso de morfismos proviene de morfismos de abajo). Estas dos propiedades juntas pueden formularse como una equivalencia de categorías entre la categoría de objetos de abajo y la categoría de datos de descenso.

Addendum 1: Charles plantea una pregunta interesante. Una respuesta puede basarse en el hecho de que parece haber una diferencia filosófica entre las pilas generales y las pilas algebraicas. Las pilas generales se basan en la idea de que tenemos algunos objetos y relaciones entre ellos, los morfismos, que pueden unirse sobre algún tipo de cobertura. Por lo tanto, generalmente los objetos en sí mismos son las cosas de principal interés y la condición de unión es simplemente una condición adicional (aunque muy importante) en dichos objetos.

Por otro lado, las pilas algebraicas son cosas que en sí mismas están unidas. La idea relevante es que los grupoídes son una generalización natural de las relaciones de equivalencia. (Se puede llegar más o menos a la idea de un grupoide pensando en relaciones de equivalencia fundamentadas, los elementos no solo resultan ser equivalentes sino que hay razones específicas, en general varias, para que sean equivalentes.)

Dicho esto, se podría comenzar con el hecho de que una pila algebraica es la pila asociada a un grupoide algebraico suave (es decir, los mapas de fuente y blanco son suaves). Esto da una generalización candidata al simplemente observar categorías algebraicas suaves en lugar de grupoídes suaves. Sin embargo, no me vienen a la mente ejemplos naturales que no sean grupoídes. Creo que la razón podría ser la distinción filosófica mencionada anteriormente.

Answer 2

El trabajo de Drinfeld Prismatization (Sel. Math. New Ser. 30, núm. 49 (2024) https://doi.org/10.1007/s00029-024-00937-3, arXiv:2005.04746) utiliza objetos que él llama c-stacks algebraicos, los cuales son exactamente el concepto que tenía en mente en 2011.

Creo que la cohomología prismática es algo que la gente en geometría algebraica encuentra interesante y útil ;-)