¿Cuál es el estado de esta conjetura sobre progresiones aritméticas de números primos?

Question

El teorema de Green-Tao establece que para cada $n$, existe una secuencia aritmética de longitud $n$ compuesta por números primos.

Para los números primos, $p$, sea $P(p)$ la longitud máxima de una progresión aritmética de primos cuyo elemento más pequeño es $p$.

¿Se sabe si $P(p)=p$ para cada número primo?

(Esto claramente generaliza el teorema de Green-Tao, afirmando que las progresiones largas aparecen "tan pronto como sea posible". Tenga en cuenta que $P(p) \leq p$ al ver la progresión módulo $p$.)

Answer 1

Sí, esto es desconocido; incluso es desconocido (como sospechaba GH de MO en un comentario) si $P(p) \ge 3$ siempre. Una afirmación equivalente a $P(p) \ge 3$ es que existe un entero $x>0$ tal que $p+x$ y $p+2x$ sean ambos primos. Este es un problema similar a primos gemelos: nadie ha demostrado alguna vez una afirmación que diga que dos polinomios lineales fijos $ax+b$ y $cx+d$ son infinitamente a menudo simultáneamente primos, o incluso que deben ser generalmente simultáneamente primos alguna vez. (El teorema de Green-Tao se convierte en una afirmación sobre polinomios lineales $x,x+d,x+2d,...$ en dos variables $x$ y $d$; cuando fijamos $p$ aquí, solo tenemos una variable.)

Por otro lado, la conjetura de las $k$-tuplas de primos implica que $P(p)=p$ para todo primo $p: los polinomios correspondientes son $p+x,\dots,p+(p-1)x$, y estos polinomios forman un conjunto admisible (su producto no es idénticamente cero módulo ningún primo).