El teorema de Green-Tao establece que para cada $n$, existe una secuencia aritmética de longitud $n$ compuesta por números primos.
Para los números primos, $p$, sea $P(p)$ la longitud máxima de una progresión aritmética de primos cuyo elemento más pequeño es $p$.
¿Se sabe si $P(p)=p$ para cada número primo?
(Esto claramente generaliza el teorema de Green-Tao, afirmando que las progresiones largas aparecen "tan pronto como sea posible". Tenga en cuenta que $P(p) \leq p$ al ver la progresión módulo $p$.)
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¿Dejaste una palabra fuera en la definición de $P(n)$? Lo que escribiste no tiene sentido.
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Lo siento, estaba equivocado, lo corregí. Le ruego me disculpe.
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Supongo que si $n$ no es primo, ¿entonces $P(n) = 0$?
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Uhmm, no estoy seguro, tal vez no esté bien definido la forma en que lo escribí, pero supongo que no importa.
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Interesante conjetura. Estoy seguro de que está abierto.
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Supongo que suena lo suficientemente sólido como para ser famoso si se comprueba. ¿Quizás se conocen algunos resultados más débiles sobre $P(p)$?
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No estoy al tanto de nada en esa dirección. Incluso $P(p)\geq 3$ me parece difícil.
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Ya $p=11$ parece bastante difícil...
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Puede que diga algo tonto, pero la razón de esa progresión aritmética debe ser par y coprima con p. Supongamos que la longitud de esta progresión es un número primo q>p, entonces contiene 2 múltiplos de p, y por lo tanto no puede consistir solo de números primos.
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@SylvainJULIEN de hecho, dado que la secuencia en la pregunta comienza en $p$ mismo, su longitud puede ser $= p$ (entonces, el delta tiene que ser divisible por todos los números primos $< p$).
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Claro, solo quería señalar que no puede ser mayor.
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En cuanto a $p=11$: la secuencia más pequeña es $11+n\times 210\times 7315048$ para $0\le n \le 10$.
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Una buena pregunta. Si es cierto, la prueba tendría que ser muy delicada (nada parecida a las pruebas tipo lema de regularidad de Green-Tao). Si es falso, creo que la prueba sería extremadamente extraña. Quizás las técnicas actuales puedan dar algún límite inferior a $P(p)$, pero esto también me parece complicado. Vea lo siguiente (especialmente la última página más o menos) para una discusión sobre otros resultados relacionados. people.maths.ox.ac.uk/~conlond/green-tao-expo.pdf
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No estoy seguro de la historia completa del problema $\ P(p)=p?\ $ Sé que Siemion Fajtlowicz propuso esta conjetura en 1991/2 o antes. En ese momento obtuve un algoritmo y codifiqué un programa que me dio $\ P(13)=13.\ $ Una vez más, no soy un especialista, no conozco toda la historia aquí. Mi sensación era que $\ P(17) < 17\ $ (quizás $\ \le 15).\ $ Siento firmemente que $\ P(p) < p\ $ para cada primo $\ p>13;\ $ incluso conjecturaría que $\ p-P(p)\rightarrow \infty\ $ para $\ p\rightarrow\infty$.
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La conjetura se mantiene hasta $p=19$. Ver secuencia A088430 en el OEIS.