Otra noción de exactitud: ¿cómo afinarla y dónde encaja?

Question

Hay muchas nociones de "exactitud" en la teoría de categorías, la geometría algebraica, etc. Aquí ofrezco otra que generaliza la categoría de marcos, la noción de valoración (de la teoría de la probabilidad), y toca aspectos de las categorías abelianas y el teorema de Seifert-van Kampen.

Mi intención es escuchar los comentarios de la comunidad sobre

• cómo debe perfeccionarse y mejorarse esta noción,
• otros ejemplos y ámbitos en los que surge esta noción,
• si esta noción encaja en una teoría más amplia o amplía una teoría existente.

La idea aproximada es que una estructura de exactitud en una categoría es un conjunto de cuadrados conmutativos, como los pushout-pullbacks, y que un functor es exacto cuando preserva los cuadrados elegidos. En este sentido, es algo así como un "esbozo de límite".

Una última nota: soy consciente de que el término "cuadrado exacto" ya existe -y lo pongo como ejemplo de lo que yo llamo cuadrados exactos-, así que, aunque creo que el nombre "cuadrado exacto" es adecuado, también me gustaría escuchar alternativas.

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Dejemos que $2=\fbox{$ \N - Buleto - Buleto $}$ denotan la categoría de flechas libres, por lo que $2\times 2$ es el cuadrado libre conmutativo.

Definición : Dejemos que $C$ sea una categoría con un objeto inicial $\bot$ . Un estructura de exactitud en $C$ es un conjunto $E$ de cuadrados, $e\colon 2\times 2\to C$ , llamado cuadrados exactos $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&e&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \underset{i}{\to}&D \end{array} $$ que satisface las siguientes condiciones:

1. El compuesto de cualquiera de las dos proyecciones $2\times 2\to 2$ y cualquier morfismo $2\to C$ ("cualquier cuadrado degenerado") es exacta;
2. El compuesto del mapa de intercambio $\sigma\colon 2\times 2\to 2\times 2$ y cualquier cuadrado exacto $e\colon 2\times 2\to C$ es exacta;
3. El pegado de dos cuadrados exactos cualesquiera en $C$ $$ \begin{array}{ccccc} \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet \end{array} $$ es exacta; y
4. si $e\cong e'$ son cuadrados isomórficos entonces $e$ es exacta si $e'$ es.

Nos referimos a una categoría con una estructura de exactitud como una categoría exigente . Decimos que un functor es exigente si preserva los objetos iniciales y los cuadrados exactos.

Decimos que una categoría exigente $(C, \bot, E)$ es normalizado si tiene un objeto final y continuo si tiene colímites filtrados, y de forma similar los morfismos son normalizado y/o continuo si conservan estas estructuras. Dejemos que $\mathsf{ExCat}$ , $\mathsf{CtsExCat}$ , $\mathsf{NrmExCat}$ y $\mathsf{NrmCtsExCat}$ denotan las diversas combinaciones de estos adjetivos.

Ejemplo: Si $C$ es una categoría abeliana, entonces se le puede dar la estructura de una categoría exacta normalizada. El elemento superior es 0, y un cuadrado $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \xrightarrow{i}&D \end{array} $$ es exacta en el presente sentido si la secuencia $$0\to A\xrightarrow{(f,g)}B\oplus C\xrightarrow{h-i}D\to 0$$ es exacta en el sentido de los complejos de cadena.

Ejemplo: El teorema clásico de Seifert-van Kampen es la afirmación de que el functor de grupo fundamental $\pi_1\colon\mathsf{Top}\to\mathsf{Grp}$ de los espacios topológicos a los grupos es exacta si elegimos los cuadrados exactos en $\mathsf{Top}$ para ser cuadrados pushout-pullback con pullback simplemente conectado, y los de $\mathsf{Grp}$ para ser las plazas de empuje.

Ejemplo: La categoría $\mathsf{Cat}$ de categorías puede recibir la estructura de una categoría exigente (continua normalizada), donde un cuadrado $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \xrightarrow{i}&D \end{array} $$ se llama exacta si es exacta en el sentido de la nlab es decir, si $g_!f^*=i^*h_!$ como funtores $\mathsf{Psh}(B)\to\mathsf{Psh}(C)$ .

Ejemplo: Un marco (también conocido como locale), por ejemplo, el conjunto de conjuntos abiertos en cualquier espacio topológico, tiene una estructura de exactitud continua y normalizada. Se puede considerar como una categoría de la forma habitual, sus elementos superiores/inferiores sirven como objetos iniciales/finales, y decimos que un cuadrado es exacto si es a la vez un pullback y un pushout: $$ \begin{array}{ccc} A\cap B&\to&A\\ \downarrow&&\downarrow\\ B& \to&A\cup B \end{array} $$ Se trata de una incrustación completa y fiel $\mathsf{Frm}\to\mathsf{NrmCtsExCat}$ . De hecho, cualquier mapa monótono entre los conjuntos de marcos subyacentes $F$ y $F'$ que preserva los elementos superiores e inferiores y los colímetros filtrados (sups dirigidos), es un mapa de tramas si preserva los encuentros binarios y las uniones binarias. Pero este es el caso si preserva los cuadrados exactos. [De hecho, el functor $\mathsf{Frm}\to\mathsf{CtsExCat}$ también es totalmente fiel].

Ejemplo: El poset $\mathbb{R}^+:=\{r\in\mathbb{R}\mid 0\leq r\}\cup\{\infty\}$ de los números reales no negativos más el infinito bajo la habitual $\leq$ se puede dar una estructura de exactitud continua normalizada donde un cuadrado $$ \begin{array}{ccc} m&\to&n\\ \downarrow&&\downarrow\\ m'& \to&n' \end{array} $$ es exacta si $m+n'=m'+n$ .

Observación: Si $(C,\bot,E)$ es una categoría exigente (continua) y $c\in C$ es un objeto, entonces la categoría de trozos $C_{/c}$ hereda una estructura exigente (continua). Sea $U\colon C_{/c}\to C$ sea el functor de olvido. Entonces $C_{/c}$ hereda un objeto inicial y colímetros filtrados de $C$ y tomamos un cuadrado $e$ ser exigente en $C_{/c}$ si $U(e)$ es exigente en $C$ .

Las valoraciones son un enfoque constructivo de la teoría de la probabilidad, que coincide con la definición habitual de Kolmogorov en casos agradables. No utiliza $\sigma$ -sino que se define en marcos. Aquí damos la definición habitual, pero con la terminología actual. Nótese que $\mathbb{R}^+_{/1}$ tiene como objeto el intervalo cerrado $[0,1]$ .

Definición: Dejemos que $F$ sea un marco. A valoración en $F$ es un functor exacto $\mu\colon F\to\mathbb{R}^+_{/1}$ . Se llama normalizado y/o continuo si está normalizado y/o es continuo como un functor exacto.

En otras palabras, nuestra terminología "normalizada" y "continua" se eligió para que coincidiera con la de las valoraciones. La definición anterior sitúa las valoraciones en un contexto mucho más amplio.

Propuesta: Cualquier funtor exacto a la izquierda preserva los objetos de la categoría exacta y los funtores exactos, normalizados o no. Además, la parte de la imagen directa de un morfismo geométrico preserva los conjuntos exactos continuos, como los marcos y los reales inferiores no negativos, como se ha descrito anteriormente.

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Una vez más, mi pregunta es "¿cómo responderá la comunidad? En otras palabras, estoy buscando ideas sobre esta noción, cómo encaja con otras nociones que no he discutido anteriormente, otros ejemplos de ella, si ya existe, si hay requisitos adicionales que deberían hacerse, etc.

Gracias.

Answer 1

Me gustaría argumentar que la definición actual es demasiado mínima para permitir un gran desarrollo de la teoría, ya que el único axioma sustancial es la condición de pegado. En particular, sería posible tomar todo cuadrados conmutativos en una categoría dada para ser cuadrados exactos, lo que puede parecer una clase demasiado grande. Por lo tanto, es de esperar que se necesite alguna condición que limite el tamaño de una estructura de exactitud.

En cuanto a otros axiomas potenciales, quiero proponer la propiedad 2-de-3:

Propiedad de 2 de 3 : Si un compuesto de dos cuadrados es exacto y también lo es uno de los cuadrados originales, entonces también lo es el otro.

Demostraré que se cumple en los ejemplos de marcos y en el de categorías abelianas. Todavía no he pensado si se cumple en los otros ejemplos.

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Marcos, entramados modulares: El ejemplo del marco no utiliza la distributividad infinita que es característica de los marcos: La definición de David de la estructura de exactitud en los marcos se aplica a todos los entramados. No es difícil construir entramados en los que falle la propiedad 2-de-3 de la estructura de exactitud de David. Pero hay una gran clase de retículos con importancia para el álgebra homológica en los que se cumple:

Propuesta: En un celosía modular la propiedad 2-de-3 anterior se mantiene.

Dado que todo marco es un entramado distributivo y, por tanto, modular, esto cubre también el caso de los marcos.

Prueba. Por dualidad, basta con demostrar que si tenemos un diagrama

$\require{AMScd}$

\begin{CD} x \land y @>>> y @>>> z \\ @VVV @VVV @VVV \\ x @>>> x\lor y @>>> x \lor z \end{CD} con $x\land y = x \land z$ entonces también $y = (x \lor y) \land z$ , por lo que el cuadrado de la derecha también es un retroceso. (Es automáticamente un pushout por el lema pushout).

En efecto, por modularidad, tenemos $$ (x\lor y) \land z = y\lor (x\land z) = y\lor (x\land y) = y, $$ como se iba a demostrar.

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Categorías abelianas : Aquí, la definición de David de cuadrado exacto equivale a decir que un cuadrado es exacto si y sólo si es a la vez un pullback y un pushout.

Propuesta: La estructura de exactitud en una categoría abeliana satisface la propiedad 2-de-3.

Prueba. Por Teorema de incrustación de Mitchell podemos razonar en términos de persecución de diagramas con módulos sobre un anillo. De nuevo por dualidad, basta con mostrar una dirección: si

\begin{CD} A @>f>> B @>g>> C \\ @VhVV @ViVV @VjVV \\ D @>k>> E @>l>> F \end{CD}

es tal que el cuadrado de la izquierda y el cuadrado compuesto son exactos, entonces también lo es el cuadrado de la derecha. De nuevo, por el lema del empuje, sólo tenemos que demostrar que el cuadrado de la derecha es un retroceso. Por tanto, dejemos que $c\in C$ y $e\in E$ sean elementos tales que $j(c) = l(e)$ . Tenemos que demostrar que hay un único $b\in B$ con $e = i(b)$ y $c = g(b)$ . Para la unicidad, basta con considerar el caso $c = e = 0$ . Entonces, como el cuadrado de la izquierda es un pullback, tenemos $a\in A$ con $b = f(a)$ y $h(a) = 0$ . Pero como $g(f(a)) = g(b) = 0$ la suposición de que el cuadrado compuesto es un pullback también implica $a = 0$ como se iba a demostrar.

Para la existencia, empezamos con $c$ y $e$ como en el caso anterior. Dado que el cuadrado de la izquierda es un pushout, podemos encontrar $b_1\in B$ y $d\in D$ tal que $e = i(b_1) + k(d)$ . Entonces tenemos $$ l(k(d)) = l(e) - l(i(b_1)) = j(c - g(b_1)). $$ Dado que el cuadrado compuesto es un retroceso, obtenemos $a\in A$ con $d = h(a)$ y $c - g(b_1) = g(f(a))$ . Así que con $b_2 := f(a)$ tomamos $b := b_1 + b_2$ , lo que da lugar a $$ g(b) = g(b_1) + g(b_2) = c $$ y $$ i(b) = i(b_1) + i(b_2) = (e - k(d)) + i(f(a)) = e - k(d) + k(h(a)) = e, $$ como se iba a demostrar.

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Adenda: Otra fuente de estructuras de exactitud viene dada por sistemas de bicoca como en la definición 4.2.1 de Composiciones y Gleaves . Allí también se introdujo la estabilidad bajo los pullbacks, y se trabajó sólo con cospans, o lo que es lo mismo, con cuadrados de pullbacks.

Answer 2

Si estuviera dispuesto a permitir una generalización en la que "ser exacto" es estructura en un cuadrado en lugar de un propiedad de ella, entonces habría un ejemplo en la categoría de homotopía de una $\infty$ -(o derivador estable), donde una "estructura exacta" sobre un cuadrado (homotópico) conmutativo es una elección de homotopía que lo llena y lo convierte en un cuadrado pushout+pullback.

Del mismo modo, se podría poner una estructura de exactitud "relevante para la prueba" en Ho(Cat) donde una estructura exacta en un cuadrado conmutativo hasta el isomorfismo es una elección de isomorfismo que lo llena y lo convierte en un cuadrado exacto en el sentido de tu ejemplo anterior. Si se relajara aún más el requisito de que los cuadrados exactos tienen que ser realmente conmutativos, se podrían permitir transformaciones no invertibles con la misma propiedad de exactitud.