Reordenamientos que nunca cambian el valor de una suma

Question

He publicado esta pregunta en math.stackexchange.com y hasta ahora la única respuesta publicada (también mencionada en los comentarios bajo la pregunta) muestra que una de mis precipitadas conjeturas iniciales sobre la respuesta final estaba equivocada.

Qué biyecciones $f:\{1,2,3,\ldots\}\to\{1,2,3,\ldots\}$ tienen la propiedad de que para cada secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ , $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_{f(k)}, $$ donde " $=$ "¿se interpreta como que si cualquiera de los dos límites existe también el otro y en ese caso son iguales?

Aquí hay otra suposición inicial precipitada, diferente de la que publiqué en stackexchange: Son las biyecciones cuya órbita es finita.

(El hecho de que existan incontables biyecciones de este tipo puede verse de la siguiente manera: Para cada número impar $n$ , dejemos que $f$ o bien arreglar $n$ y $n+1$ o intercambiarlos. Esa biyección nunca cambia los valores de las sumas. Es una secuencia contablemente infinita de opciones binarias, por lo que es incontable).

Answer 1

Con el fin de registrar una respuesta en lugar de un montón de enlaces: Michael Hardy requiere que

si cualquiera de los dos límites existe, entonces el otro también y en ese caso son iguales?

Llamemos a este conjunto $G$ .

Levi respondió a una cuestión ligeramente diferente, a saber, caracterizar las permutaciones para las que

si el límite de la izquierda existe entonces también el de la derecha y en ese caso entonces son iguales?

Lo llamaré $P$ . Claramente, $G = P \cap P^{-1}$ .

Teorema Una permutación $f$ está en $P$ si y sólo si existe una constante $M$ tal que, para cualquier $N$ el conjunto $f([1,N])$ puede escribirse como $\bigcup_{i=1}^M [a_i, b_i]$ , donde $[a,b] = \{ a,a+1, \ldots, b \}$ .

Levi proporcionó una caracterización diferente a ésta; Agnew proporcionó esta caracterización; me enteré de ambos por Schaefer que señala que son directamente equivalentes.

Pleasants muestra que $P$ no es cerrado bajo inversión. No he encontrado (en una hora de hojeo) ningún documento que dé una caracterización más simple de $P \cap P^{-1}$ que la fórmula definitoria.

Nota: Me parecería más bonito replantear la caracterización de Levi/Agnew de la siguiente manera: Para $S \subseteq \mathbb{N}$ definen el bloqueo de $S$ para ser el menor número entero $\beta(S)$ tal que $S$ puede escribirse como $\bigcup_{i=1}^{\beta(S)} [a_i, b_i]$ . (Podríamos tener $\beta(S) = \infty$ .) Entonces $f$ está en $P$ si y sólo si existe una constante $M$ tal que $\beta(f(S)) \leq M \beta(S)$ . Esto hace más evidente que $P$ es cerrado bajo composición.