Codimensión del rango de ciertos operadores lineales

Question

Suponga que $P(x,y), Q(x,y) \in \mathbb{R}[x,y]$ son de dos polinomios. Definimos lineal mapa

$D$ a $\mathbb{R}[x,y]$ con $D(U)=PU_{x}+QU_{y}$. De hecho, $D$ es el operador diferencial correspondiente al campo de vectores $P\partial_{x}+Q\partial_{y}$.

Existen polinomios $P$ e $Q$ de manera tal que el codimension de la gama de $D$ es finito, pero diferente de la $0$ e $1$?

Nota Este codimension es $0$, $1$ y $\infty$ para $\partial_{x}$, $x\partial_{x}+y\partial_{y}$ y $x\partial_{x}-y\partial_{y}$, respectivamente.

La motivación se puede demostrar fácilmente que este codimension es un límite superior para el número de órbitas cerradas del polinomio campo de vectores $P\partial_{x}+Q\partial_{y}$.

Sin embargo, hay una Dolorosa realidad: Si un campo vectorial suave $X$ a $\mathbb{R}^{2}$ tiene un ciclo límite que rodea una singularidad no degenerada (o una singularidad que tiene un local liso primera integral en un eliminados barrio de la singularidad y es discontinua en la singularidad), entonces el codimension de la gama de los diferenciales de operador $D_{X}$ a $C^{\infty} (\mathbb{R}^{2})$ es infinito ! La razón es la siguiente.

Suponga que un ciclo límite $\gamma$ es atractor y surounds una fuente de singularidad en el origen.

No degeneración de la singularidad que nos ayudan a encontrar un conjunto abierto D de alrededor de origen cuyo límite $S$ es una suave curva cerrada y el vector campo es transversal a $S$ hacia el exterior de $S$. Por lo que el flujo de $X$ define un suave retracción $r:\bar{D}\setminus \{0\} \to S$. De hecho, $r(x)$ es el punto de intersección de la órbita de $x$ con $S$ Esto demuestra que no es un suave real, la función con valores de $\phi$ a $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ tal de que a nivel local en torno al origen tenemos $X. \phi =0$ e $P\circ \phi$ es discontinua en el origen para cada polinomio $P(x)$. Tal $\phi$ puede ser construido localmente por $\psi \circ r$ where $\psi:S \to \mathbb{R}$ is an arbitrary non constant smooth function.Now we choose an arbitrary smooth extension of this locally defined $\phi$ a toda perforado plano. Esta extensión se denota de nuevo por $\phi$. Obviamente cada combinación lineal no trivial $\sum \lambda_i \phi^i$ es interrumpidas en el país de origen. Debido a su restricción a cada pequeño barrio de el origen tiene el mismo rango(imagen) como el rango de $\sum \lambda_i \psi^i: S \to \mathbb{R}$. Sin embargo $X.\phi^i$ es una función uniforme en todo el avión, para cada $i$ desde que desaparecer localmente alrededor del origen.

Ahora, para cada $n$,el siguiente conjunto representa un subconjunto independiente de $C^{\infty}(\mathbb{R}^2)/Image(D_X)$

$$\{X.\phi, X.\phi^2, \ldots, X.\phi^n \}$$ Para probar esto, le recomendamos utilizar el hecho de que tenemos al menos un ciclo límite.

Más precisamente: suponga que el $\sum_{i=1}^n \lambda_i (X.\phi^i)= X.F$ para algunos liso función de $F\in C^{\infty} (\mathbb{R}^2)$. A continuación, $F-\sum \lambda_i \phi^i$ es una primera integral(constante de movimiento) en la puntured plano. Por lo que es constante en la basian de atracción del ciclo límite. Un pinchazo en un barrio de el origen está contenida en el basian de atracción de ciclo límite. Por lo tanto localmente alrededor del origen,$F$ diferencia $\sum_{i=1}^n \lambda_i \phi^i$ por una constante(eliminado barrio). Esto es una contradicción, porque $F$ es suave en origen, sino $\sum \lambda_i \phi^i$ es discontinua en el origen.

Así que por desgracia nos encontramos con los siguientes dos opuestos pero los verdaderos resultados:

1)El codimension de la gama de $D_X$ es un límite superior para el número de ciclos límite.

2.Si el codimension es finito, entonces no hay ningún ciclo límite.

Así que debemos elegir una función adecuada de álgebra, diferente de $C^{\infty} (\mathbb{R}^{2})$, que es invariante bajo el operador diferencial correspondiente a una expresión algebraica de vectores de campo.

Añadió:

De acuerdo a la respuesta de Loic Teyssier ponemos $X=x^k\partial_x+y\partial_y$. A continuación, $X$ puede actuar en diversos espacios de $C^{\infty}(\mathbb{R}^2),\; C^{\omega}(\mathbb{R}^2)$ o el espacio de holomorphic funciones de $\mathbb{C}^2$ a $\mathbb{C}$. ¿Qué se puede decir acerca de la dimensión de la cokernels en cada una de estas acciones?

Answer 1

La pregunta admite una respuesta positiva cuando uno mira el anillo de poder formal de la serie de $\mathbb R[[x,y]]$. Por ejemplo, el campo de vectores $x^k\partial_x+y\partial_y$ tiene una formal cokernel de dimensión $k$. Sin embargo, cuando se limita a los polinomios de la propiedad desaparece: el polinomio cokernel es de dimensiones infinitas (nunca se puede llegar a monomials de la forma $x^{k-1}y^m$ para $m\in\mathbb N$ ni $x^n$ con $n<k$, y esos son los únicos problemas).

De alguna manera creo que la respuesta también debe ser positivo en el caso polinomial. Pero yo no tengo ningún ejemplo de improviso.

Answer 2

Esta no es una respuesta.

He probado algunos experimentos en madera de Arce y creo que la respuesta a tu pregunta es negativa. He mirado en el infinito de la matriz dada por $D$ como he sugerido en mis comentarios.

Una columna en este infinito de la matriz está dada por los coeficientes de $D(x^iy^j) = iP(x,y)x^{i-1}y^j + jQ(x,y)x^iy^{j-1}$, lo que significa que las entradas de la matriz de parecerse a $\lambda p_{ab} + \mu q_{cd}$ integral $\lambda$ e $\mu$. Si uno esta entrada es cero, entonces se implica la desaparición de infinidad de entradas en la matriz, las cuales están dadas por múltiplos de esta $(\lambda, \mu)$ proveniente de algunos poderes superiores $x^{ki}y^{kj}$.

De la esquina de casos $x^i$ e $y^j$ recupera uno de los múltiplos $P$ e $Q$, los coeficientes están más repartidos a lo largo de las filas. Debido a que la matriz es de la banda la diagonal (la circunferencia dada por grados de $P$ e $Q$), parece que hay una delgada que la codimension podría ser finito y más grande que 1.

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editar:

Si usted desea considerar diversos espacios de funciones, a continuación, puede ser fructífera para reinterpretar la instrucción en la teoría de la $\mathcal{D}$-módulos, véase por ejemplo el capítulo $8$ de "Álgebra Homológica", por S. I. gelfand y Yu. Yo Dyvian. También se le dará más literatura para estudiar el amplio alcance de su problema. He tomé la libertad de añadir las etiquetas apropiadas a su pregunta. Por favor, tome las siguientes líneas con un grano de sal, ya que ha sido bastante tiempo desde que he tratado con $\mathcal{D}$-módulos.

Deje $\mathcal{O}$ denotar el espacio de polinomios en dos variables y deje $\mathcal{D}$ la correspondiente álgebra de Weyl, es decir, el espacio de los operadores diferenciales en dos variables con coeficientes de $\mathcal{O}$. Por último, vamos a $M =\mathcal{D}/\mathcal{D}D$ el valor del cociente de $\mathcal{D}$ por la izquierda ideal generado por $D$. Si se aplica la izquierda exacta hom-functor $\mathrm{Hom}(_,\mathcal{O})$ en el corto secuencia exacta $$ 0 \a \mathcal{D} \xrightarrow{Q \mapsto QD} \mathcal{D} \M \0 $$ usted obtendrá el siguiente largo de la secuencia exacta $$ 0 \a \mathrm{Hom}_\mathcal{D}(M,\mathcal{S}) \a \mathrm{Hom}_\mathcal{D}(\mathcal{D},\mathcal{S}) \a \mathrm{Hom}_\mathcal{D}(\mathcal{D},\mathcal{S}) \a \mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(M,\mathcal{S}) \a \mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(\mathcal{D},\mathcal{S}) \a \ldots $$

El espacio vectorial $\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(\mathcal{D},\mathcal{O})$ realidad es isomorfo a $\mathcal{O}$ través $\varphi \mapsto \varphi(1)$ y si se relaja la definición de los hom-functor y el uso de este isomorfismo, verás que el primer espacio de $\mathrm{Hom}_\mathcal{D}(M,\mathcal{O})$ realidad es isomorfo a $\mathrm{Ker}(D)$ -- el núcleo de $D$ que actúa sobre el espacio de polinomios $\mathcal{O}$. Desde $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(\mathcal{D},\mathcal{O}) = 0$ obtenemos la secuencia exacta $$ 0 \a \mathrm{Ker}(D) \a \mathcal{S} \xrightarrow{f \mapsto D(f)} \mathcal{S} \a \mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(M,\mathcal{S}) \a 0, $$ que nos dice que $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(M,\mathcal{O})$ es en realidad el cokernel de $D$. Todo esto pasa a través de un general $\mathcal{D}$-módulo de $N$ en lugar de $\mathcal{O}$, el único cambio es que ahora el kernel tomadas en el espacio de $N$. Por lo tanto tu pregunta puede ser reinterpretado/generalizado como:

Hay un $\mathcal{D}$-módulo de $N$ tal que $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{D}(\mathcal{D}/\mathcal{D}D,N)$ es finito-dimensional de dimensión mayor que uno?

Hay varios paquetes de equipo que puede dar la cokernel (o ext) de cualquier operador diferencial sobre un álgebra de Weyl. Yo no apostaría por ellos que son capaces de manejar cualquier "nonalgebraic" de los módulos, así como el espacio real de funciones analíticas, pero se puede tratar de experimentar con algunas extensiones de $\mathcal{O}$.

Hay dos artículos de Coutinho que investigar sobre el tema: Extensiones de los módulos a través de álgebras de Weyl y Módulos de codimension uno más de álgebras de Weyl).

Parece que el corolario 2.6 de la ex artículo responde a su pregunta en negativo, ya que la $\mathcal{O} = \mathcal{D}/(\mathcal{D}\partial_x + \mathcal{D}\partial_y)$ es un holonomic módulo y por lo tanto es singular. Pero no tengo idea de si hay existe $D$ tal que $\mathcal{D}/\mathcal{D}D$ es nonsingular.