La no simplicidad de $SO(4)$ y $A_4$

Question

Es bien sabido que el grupo alterno $A_n$ es simple a menos que $n=4$ . Es igualmente conocido que el grupo ortogonal especial $SO(n)$ es esencialmente simple a menos que $n=4$ (concretamente, el grupo $SO(n)$ es sencillo para impar $n$ y el grupo $SO(n)/\{\pm I\}$ es sencillo incluso para $n\neq 4$ ).

Mi pregunta es: ¿son estos dos hechos equivalentes? La no simplicidad de $SO(4)$ se puede demostrar observando que la doble tapa de $SO(4)$ es $SU(2)\times SU(2)$ que, al ser un producto directo, es muy no simple. Esta doble cobertura está estrechamente relacionada con las propiedades de los cuaterniones (ver Stillwell's Teoría ingenua de la mentira ). ¿Existe una prueba análoga de la no simplicidad de $A_4$ basado en una estructura geométrica relacionada con los cuaterniones?

P.D. Esta relación es un ejemplo de la heurística del "campo de un elemento". ¿Se puede formalizar?

Answer 1

En primer lugar, la no simplicidad de $A_4$ tiene una prueba muy hermosa, que escuché resumida por Gromov como : $2+2=4$ o más bien $4=2+2$ .

O mejor dicho, hay 3 formas de emparejar 4 objetos de 2 en 2. La acción de $S_4$ sobre los 4 objetos induce por tanto una acción sobre los 3 emparejamientos, por lo que se produce un morfismo no trivial $S_4\to S_3$ cuyo núcleo interseca $A_4$ en un subgrupo simple no trivial.

La secuela es un poco dura, pero al mirar $SO(4)$ se puede intentar reinterpretar la misma prueba, utilizando los elementos de una base en lugar de los objetos permutados. $SO(4)$ actúa naturalmente sobre el conjunto de bases ortonormales directas de $\mathbb{R}^4$ con cada base vienen 3 descomposiciones de $\mathbb{R}^4$ en pares de planos ortogonales (que deberían corresponder en algún sentido a 3 estructuras complejas que satisfacen las relaciones cuaterniónicas, probablemente utilizando que los planos están dotados de bases particulares). Así pues, $SO(4)$ actúa sobre tales triples de estructuras complejas, que si recuerdo bien se identifica con $SO(3)$ el haz tangente unitario $S^2$ (elegir la primera estructura compleja $I$ es elegir un punto en la esfera unitaria en números puramente cuaterniónicos, entonces te queda elegir un cuaternión unitario puro ortogonal). Considerando la dimensión se obtiene un subgrupo no simple relativamente grande.

Answer 2

Este es un argumento que utiliza el finito grupo de cuaterniones.

Dejemos que $Q_8$ sea el grupo de cuaterniones de orden $8$ , a saber $$Q_8= \{{\pm 1, \, \pm i, \, \pm j, \, \pm k\}}.$$ Es bien sabido que $\textrm{Aut}(Q_8)=S_4$ y esto se suele demostrar construyendo un isomorfismo explícito entre $\textrm{Aut}(Q_8)$ y el grupo de simetría del cubo, véase por ejemplo aquí .

Por otra parte, dado que $\textrm{Z}(Q_8)=\{\pm 1\}$ También se tiene $$\textrm{Inn}(Q_8)=Q_8/\textrm{Z}(Q_8)=V_4,$$ donde $V_4$ denota el grupo de Klein de orden $4$ que es isomorfo a $C_2 \times C_2$ .

Finalmente, el grupo de automorfismo interno es siempre un subgrupo normal del grupo de automorfismo completo, por lo que el argumento anterior muestra que $S_4$ contiene un subgrupo normal isomorfo a $V_4$ . Utilizando de nuevo la identificación de $\textrm{Aut}(Q_8)$ con el grupo de simetría del cubo, no es difícil demostrar que dicha normal $V_4$ consiste en permutaciones pares, es decir, está contenida en $A_4$ .

Esto demuestra que $A_4$ no es sencillo.

Answer 3

Aquí están algunas observaciones generales que sostienen arbitrarias de Lie semisimple álgebras ${\mathfrak g}$ relacionar sus propiedades algebraicas a la de su grupo de Weyl $W$.

1. ${\mathfrak g}$ es simple si y sólo si la norma lineal de la acción de su grupo de Weyl $W$ es irreductible. Sin embargo, $W$ sí todavía puede dividir trivial como un producto directo (esto sucede en algunos casos); vamos a llamar a esta $W$ "reducible". Esto fue analizado por Luis París en http://arxiv.org/pdf/math/0412214v2.pdf. El objetivo principal de su trabajo fue en infinito grupos de Coxeter, pero él también se clasifican reducible finito Coxeter grupos cuyo sistema radicular es irreducible (sección 7). En todos los casos, el factor de $W$ por su centro es irreductible, es decir, no se divide trivial como un producto directo. Por lo tanto, la instrucción es: ${\mathfrak g}$ es simple iff $W/Z(W)$ es irreductible.

2. Como por la sencillez de $W$ sí, en el caso de los "clásicos" de los sistemas radiculares, $W$ siempre tiene la forma de semidirect producto de una permutación de grupo y un número finito de abelian grupo. Por lo tanto, si uno está dispuesto a dividir por el abelian normal subgrupo y, a continuación, pasar a la alternancia de grupo, entonces en el caso clásico que uno hace, obtiene que la sencillez de ${\mathfrak g}$ es equivalente a la simplicidad de un cierto "subquotient" de $W$. No sé lo suficiente acerca de la excepcional Coxeter grupos para hacer una conclusión similar en general.