Es la siguiente suma irracional?
$$S = \displaystyle \sum_{n \text{ squarefree}, n \geq 1} \frac{1}{n^3}$$
La suma claramente converge, entonces es acotada arriba por $\zeta(3) = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^3}$. De hecho, ya hemos $$\displaystyle \sum_{n \text{ squarefree}, n \geq 1} \frac{1}{n^3} = \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^3}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^3},$$ la suma es exactamente igual a $\displaystyle \frac{\zeta(3)}{\zeta(6)}$.
Por lo tanto, si $S$ es irracional, entonces sería una muestra de que $\zeta(3)$ no es un racional múltiples de $\pi^6$. Ya sabemos que $\zeta(3)$ no es racional dado Apery del trabajo, esto es un leve fortalecimiento del resultado de Apery.
Parece que Apery del enfoque aún debe trabajar para $S$, pero no estoy seguro. ¿Alguien sabe la respuesta o la plausibilidad de Apery del enfoque de trabajo?
Edit: se nota que si estamos a la suma de los recíprocos de los PODEROSOS números, es decir, los números de $n$ tal que para todos los números primos $p$ dividiendo $n$, existe un entero $k > 1$ tal que $p^k || n$. En particular, todos los poderosos números de $n$ tiene una representación única como $n = a^2 b^3$ donde $b$ es squarefree. Por lo tanto, tenemos $$\displaystyle T = \sum_{n \text{ powerful}} \frac{1}{n} = \left(\sum_{a=1}^\infty \frac{1}{a^2} \right)\left(\sum_{b \text{ squarefree}, b \geq 1} \frac{1}{b^3}\right) = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}.$$ Sería interesante ver si Apery de los métodos de trabajo de la suma de los recíprocos de los poderosos números así.
