Para el contexto de Tom respuesta,
permítanme estado de la versión ingenua de la conjetura, que ha sido de alrededor desde alrededor de 1997 creo (debido a Beilinson-Drinfeld). Pide una equivalencia de (dg) categorías
$$D(Bun_G(X))\simeq QC(Loc_{G^\vee}(X))$$
entre los (cuasi)coherentes $D$-los módulos de la pila de $G$-paquetes en una curva de $X$, y (casi)coherente con poleas en la (derivada) de la pila de tv de $G^\vee$ conexiones en la curva.
Por otra parte (y esto es donde la mayoría de los contenidos se encuentra) esta equivalencia debe ser una equivalencia como módulo de categorías para la esférica Hecke categoría $Rep(G^\vee)$ actuando en ambos lados, para cada opción de punto de $x\in X$. La acción en el derecho se da por simple operadores de multiplicación (producto tensor con una tautológica vector paquete en la $Loc_{G^\vee}(X)$ conectado a una determinada representación de $G^\vee$ y el punto de $x$. En el lado derecho de la acción es mediante la convolución (Hecke) functors, asociados a las modificaciones de $G$-paquetes en $x$ (posiciones relativas en $x$ de %de $G$- paquetes están etiquetados por el afín Grassmannian, y con el fin de formular esta declaración, se utiliza el geométrica Satake teorema de Lusztig, Drinfeld, Ginzburg y Mirkovic-Vilonen).
La equivalencia puede ser determinado de forma única mediante el uso de "Whittaker normalización",
un geométricas analógica de la identificación de L-funciones en el clásico de Langlands historia.
En esta forma la conjetura es un teorema de $GL_1$, mediante la extensión de las transformadas de Fourier-Mukai transformación para D-módulos. No hay otros grupos para los cuales es conocido, sin embargo, aunque quizás Dennis ya ha $SL_2$), y de algunas curvas (que uno puede hacer $P^1$ por ejemplo). También (como Scott señala) esta es sólo la unramified caso, y no son naturales conjeturas para hacer con al menos domar ramificación (un "parabólico" versión de la anterior).
Existe además una estrecha variante de esta conjetura que viene naturalmente a partir de la S-dualidad para N=4 super-Yang-Mills, gracias a Kapustin-Witten. [Edit: de hecho, la física sugiere una forma mucho más refinada versión de toda la geométrica programa de Langlands.]
Es un teorema de Beilinson-Drinfeld si nos restringimos a la mano izquierda para D-módulos generados por D mismo, y sobre el derecho a la coherente poleas que viven en opers.
También es bien conocido que esta conjetura como se dijo es demasiado ingenuo, debido a las malas "análisis funcional" de la categoría de que se trate (precisamente análoga a la de la analítica de los problemas que aparecen por ejemplo en el Arthur-Selberg de seguimiento de la fórmula). En el D-módulo lado, la pila de $Bun_G$ no es finito tipo, y uno puede querer hacer más preciso "condiciones de crecimiento" en el D-módulos a lo largo de la Difícil-Narasimhan estratos. En la coherente lado, $Loc$ es un derivado de la pila y singular, y se deben modificar las poleas permitido en los puntos singulares, en particular en la mayoría de los punto singular, el trivial del sistema local. [Edit:Una forma de corregir esto implica la "Arthur $SL_2$" -- aproximadamente habla mirando a los sistemas locales con un plano adicional $SL_2$-acción que controla la reducibilidad..esto viene muy bellamente de la física en el trabajo de Gaiotto-Witten, uno de los primeros puntos donde la física es claramente más "inteligente" de las matemáticas.] Estas dos cuestiones son muy cuidadosamente emparejados por la dualidad. Si se restringe a la irreductible de los sistemas locales de
y "cuspidal" D-módulos, estos temas son completamente evitado (a pesar de que la conjetura incluso en este lugar permanece abierto, excepto para $GL_n$, donde creo que se puede deducir de trabajo de Gaitsgory después de su trabajo en conjunto con los Frenkel-Vilonen, ver su ICM).
En cualquier caso, Dennis ahora se ha dado una formulación precisa de una conjetura, que fue en algún momento, al menos en su página web y sigue el contorno de Tom explicó. Es muy claro que homotopical álgebra a la Lurie es fundamental para cualquier intento de probar esto, y Dennis y Jacob han hecho (AFAIK), un gran progreso en este. La idea básica de este enfoque es el mismo que se llevó a cabo por Beilinson-Drinfeld y sugerido por (de edad) la teoría conforme de campos (en particular Feigin-Frenkel) y (nuevo) topológica de la teoría de campo (Kapustin-Witten y Lurie) -- es decir, un local al mundial, argumento, deducir el resultado de un local de equivalencia que proviene de la teoría de la representación de bucle de álgebras. La maquinaria necesaria para "categórica análisis armónico" está disponible ahora, y estoy mirando adelante a oír una solución antes de muy largo..
Edit: En respuesta a Kevin comentario que quería hacer algunos muy informal comentarios acerca de ramificación.
Primero de todo lo que uno necesita tener en mente la distinción entre la reciprocidad (que es lo que la anterior conjetura de captura) y functoriality. En la configuración geométrica de la antigua es estrictamente más fuerte que el segundo, mientras que en la aritmética de la configuración de la mayoría de los énfasis está en las últimas. De hecho, es bastante fácil de formular una functoriality conjetura en la configuración geométrica con arbitraria de ramificación. Es decir, corregir algunos ramificación y mirar a la categoría de D-módulos en la pila de G-paquetes con la correspondiente estructura de nivel. Entonces este es un módulo de categoría más coherente de las poleas en la pila de $G^\vee$ conexión
con los polos de lo prescrito por la ramificación (por ejemplo, podemos tomar el completo nivel de estructura y permiten polos). Entonces uno puede conjeturar que, dado un mapa de L-grupos $G^\vee\to H^\vee$ el correspondiente automorphic categorías se dan simplemente por tensoring el módulo de categorías de $QC(Loc_{G^\vee}(X))$ a $QC(Loc_{H^\vee}(X))$ (todo lo que aquí debe ser tomado en la que se derivan nivel de sentido). No es difícil ver esto se desprende de cualquier forma de reciprocidad puede formular. Y también hay una versión geométrica del Arthur-Selberg traza fórmula en la ramificado configuración (en desarrollo).
Segundo, uno puede hacer una reciprocidad conjetura con plena ramificación, a pesar de que han todecide en qué medida creen en ella. En el "completado"/"analítica" de forma de geométrico de Langlands que sale de la física tal conjetura de hecho aparece en un papel de Witten en el Salvaje Ramificación. A grandes rasgos, en la por encima de la reciprocidad en lugar de sólo mirar
en la categoría de módulo de la estructura para el D-módulos de control de calidad de los sistemas locales, usted puede pedir por ellos para que sean equivalentes... no declaró en cualquier lugar ya que tal vez soy demasiado ingenuo y esto es conocido por ser demasiado lejos de la verdad, pero creo más probable es que la gente no ha pensado mucho.
Tercero, el local de la historia: por supuesto, en el p-ádico caso de Kevin describe una restringe a $GL_n$. Hay dos cosas a destacar: en primer lugar, en la configuración geométrica uno está interesado en todos los grupos, y $GL_n$ no es mucho más simple en cuanto a nuestro entendimiento de la historia local va. Segundo, aunque todo es mucho más duro y más profundo en el p-ádico ajuste de la configuración geométrica, vale la pena señalar que la formulación de un local geométricas Langlands conjetura es mucho más sutil de la proposición, que implica la teoría de la representación de bucle de grupos en categorías derivadas que sólo está comenzando a estar dentro del alcance de la tecnología moderna (incluso en el nivel de formulación de los objetos!)
Dicho esto, hay áspera formas geométricas locales Langlands conjeturas desarrollado
por Frenkel, Gaitsgory y Lurie. Es mejor entendió en el llamado "cuántica geométrica programa de Langlands", una deformación de la imagen de arriba, involucrando a la teoría de la representación de los grupos cuánticos, donde Gaitsgory-Lurie precisar el local general conjetura y avanzar en su resolución. En el caso habitual de arriba es un poco degenerado y uno tiene que tener más cuidado. En cualquier caso, el bruto del local conjetura es una equivalencia de 2-categorías (de nuevo todo lo que tiene que ser tomado en la derivada adecuada sentido) entre "suave" LG-medidas relativas a las categorías y quasicoherent gavillas de categorías sobre la pila de conexiones en el disco perforado..
--Que se dijo QUE no tenemos una prueba de esto para $GL_n$ así que de nuevo el número de teóricos de ganar! sólo quería dar alguna idea de que existe una comprensión razonable de la plena ramificación.
