La declaración "$L_X Y=[X,Y]$ calcula los cambios de $Y$ a lo largo de la curva integral de $X$" no es muy correcto. Permítanme explicar por qué.
Deje $\phi_t^X$ el valor del flujo de $X$.
La fórmula clave para entender el soporte (ya mencionado anteriormente) es
$$[X, Y] = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \left( (\phi_t^X)^* Y \right).$$
(Prestar atención a la ubicación de la estrella: $\psi^* X$ e $\psi_* X$ denotan, respectivamente, el retroceso y el pushforward de $X$ por $\psi$; uno de ellos corresponde a un "pasivo" cambio de coordenadas, mientras que el otro corresponde a un "activo" de la transformación. Confuso ellos daría lugar a una señal de error.)
Aquí es lo que esta fórmula dice. Imagina que usted oprima el vector $Y$ a lo largo del flujo de $X$ durante algún tiempo $\Delta t$, y comparar el vector que ya está saliendo del punto alcanzado. Dividir la diferencia por $\Delta t$, y lo $\Delta t$ tienden a $0$; esto le da $[X, Y]$.
Lo importante a entender es que cuando usted hace esto, dos cosas suceden:
Evidentemente, a medida que se mueven a lo largo de la curva integral de $X$, el valor de $Y$ cambios. La velocidad de este cambio es uno de los términos que componen $[X, Y]$. Esto es lo que debe haber pensado cuando dijo que "$L_X Y=[X,Y]$ calcula los cambios de $Y$ a lo largo de la curva integral de $X$". Pero esto es sólo parte de la historia, porque...
El flujo de $X$ es NO una traducción, porque $X$ necesidad de NO ser localmente constante. (De hecho, en un colector general, ni la noción de "traducción" ni un "localmente constante en el vector de campo" tiene sentido, porque estas nociones hacer dependen del sistema de coordenadas que usted elija.) Por lo que el flujo de $X$ puede estirar, aplastar o gire el colector y, a continuación, se estira, se comprime o rota $Y$ respectivamente. Esto significa que incluso si $Y$ es "localmente constante" (en algún sistema de coordenadas), el soporte puede todavía ser distinto de cero.
Estas dos contribuciones de la cuenta, respectivamente, para los dos términos en el lado derecho de la fórmula
$$[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X.$$
Comprobar! Esto es obvio para el primer plazo, y requiere un poco de pensamiento para el segundo plazo.
Si usted no sabe lo que la derivada covariante $\nabla$ es, usted puede pensar de campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$, e interpretar $\nabla_X Y$ simplemente como "la derivada direccional de $Y$ a lo largo de $X$". Esto tiene sentido en $\mathbb{R}^n$, pero no de una manera abstracta el colector (si intenta definir con coordenadas, obtendrá diferentes valores dependiendo de qué sistema de coordenadas que usted elija - a menos que usted tenga una estructura adicional, tal como una métrica de Riemann.)
El lado izquierdo, por otro lado, siempre tiene sentido, que es la razón por la que es introducido. La ventaja es que es invariante por diffeomorphisms (o, si se prefiere, por el cambio de coordenadas). El inconveniente es que el $(L_X Y)_x$ no sólo dependen del valor de $X$ a $x$, pero el valor de $X$ a un barrio entero de $x$.
