La siguiente pregunta surgió hoy durante una discusión:
Supongamos que$A$ es una matriz real$n \times n$. ¿Hay alguna forma de saber si existe un número entero$q > 0$ tal que$A^q$ sea no negativo por elementos? Si es así, ¿podemos calcular este exponente$q$ rápidamente?
Gracias por tus ideas.
Este es un caso: Supongamos $A$ tiene un único autovalor $\lambda$ de mayor valor absoluto que tiene multiplicidad algebraica 1, con la izquierda y la derecha autovectores $u^T$ e $v$ tener todas las entradas distinto de cero, normalizado por lo $u^T v = 1$. Desde $A$ es una verdadera matriz, sus autovalores complejos vienen en el complejo conjugado de pares, por lo $\lambda$ debe ser real. A continuación, $A^q = \lambda^q v u^T + o(|\lambda|^q)$ as $q \to \infty$. Si todas las entradas de $u^T$ e $v$ tienen el mismo signo, entonces todas las entradas de $A^q$ son positivos para todos lo suficientemente grande $q$ (si $\lambda > 0$) o todos los suficientemente grandes a pesar de $q$ (si $\lambda < 0$). Si algunas entradas de $u^T$ o $v$ tienen signos diferentes, habrá entradas de $A^q$ con signos diferentes para todos lo suficientemente grande $q$, y por lo tanto para todos los enteros positivos $q$ (si los elementos de $A^q$ todos tienen el mismo signo, por lo que los elementos de $A^{kq}$ para todos los enteros positivos $k$).
EDIT: he Aquí un parcial de conversar. Por el Perron-Frobenius teorema, si $A^q$ tiene todas sus entradas estrictamente positivas, a continuación, $A^q$ tiene un autovalor positivo $\mu$ la cual es mayor en valor absoluto que todos los demás valores propios, y es simple, con la izquierda y la derecha autovectores $u^T$ e $v$ tener todas las entradas estrictamente positivas. Dado que los valores propios de $A^q$ son $q$'th poderes de los autovalores $A$, debe haber un autovalor $\lambda$ de % de $A$ con $\lambda^q = \mu$, teniendo también a la izquierda y a la derecha autovectores $u^T$ e $v$. Desde $A$ es real y $\mu$ es un autovalor simple, $\lambda$ debe ser real, y estamos en la situación del párrafo anterior.
La materia puede ser algo más complicada si $A^q$ es no negativa, pero nunca todos estrictamente positivo.
Este artículo es bastante interesante, y tiene razonablemente amplias referencias:
http://www.mat.ub.edu/EMIS/journals/ELA/ela-articles/articles/vol9_pp255-269.pdf
Este enlace funciona:
http://repository.uwyo.edu/ela/vol9/iss1/21/
El papel es:
Naqvi, Sarah Carnochan; McDonald, Judith J., La estructura combinatoria de finalmente no negativa de matrices, de Electrones. J. Álgebra Lineal 9, 255-269 (2002). ZBL1039.15003.
Esta respuesta da una idea de que eventualmente no negativa de matrices, que difiere de la original pregunta sobre el poder no negativa de matrices.
Para resultados en el poder positivo de las matrices, consulte Brauer [Duque de Matemáticas. J. 28 de 1961 439-445; MR0130262]; para resultados en nonreal poder no negativa de matrices de ver Tudisco et al. [Algebra Lineal Appl. 471 (2015), 449-468; MR3314347].
La situación de la ex es bien conocido para eventualmente positivo de las matrices. Deje $\rho(A)$ el valor del radio espectral de $A$. Handelman [J. Operador de la Teoría de los 6 (1981), no. 1, 55-74; MR0637001], Noutsos [Algebra Lineal Appl. 412 (2006), no. 2-3, 132-153; MR2182957], y Johnson y Tarazaga [Positividad 8 (2004), no. 4, 327-338; MR2117663] mostraron que una verdadera matriz $A$ es finalmente positiva si y sólo si $\rho(A)$ es positivo autovalor simple satisfacción de $$ |\lambda| < \rho(A) $$ para cada $\lambda \in \sigma(A)$, y son positivos a la izquierda y a la derecha autovectores $u$ e $v$ correspondiente a $\rho(A)$ (esto es conocido como el fuerte Perron Frobenius de la propiedad).
También es conocido que el índice de poder de $A$, que es el menor entero positivo $q$ tal que $A^k$ es positivo para todos los $k \ge q$ puede ser arbitrariamente grande. Esto es debido a que, en condiciones muy suaves supuestos, arbitrariamente grandes raíces de un futuro positivo matrices siendo finalmente positivo (ver McDonald et al. [Matriz de raíces de un futuro positivo de las matrices. Álgebra Lineal Appl. 456 (2014), 122-137; MR3223894]). 
Otro importante trabajo que finalmente no negativa de matrices es por McDonald y Zaslavsky [Una caracterización de la canónica de Jordan formas que son similares a los que eventualmente no negativa de matrices con las propiedades de no negativa de matrices. Álgebra Lineal Appl. 372 (2003), 253-285; MR1999150].
Es, sin embargo, sabe que si $A$ es una primitiva de la matriz, a continuación, $n^2 - 2n+2$ es un claro límite superior en el índice de primitivity (véase el Capítulo 8 de Análisis de la Matriz por Horn & Johnson).
Si es así, ¿podemos calcular este exponente $q$ rápidamente?
La respuesta a esta pregunta debería ser 'no'. En condiciones moderadas, una matriz tendrá una raíz $p$ para todos los valores de $p$ . Por lo tanto, dado que se puede tomar una raíz de matriz arbitrariamente grande, se deduce que $q$ puede ser arbitrariamente grande.
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