Bien, para entender cómo este problema es salvaje puede ser útil para su contraste con la situación de finito reductora grupos donde tenemos una clasificación de la declaración. La primera parte de este post considera que la reductora caso y, a continuación, después de que la corte le doy un poco de información acerca de $\mathrm{U}_n(q)$. Esperemos que algo de esto es para aclarar o útil para su pregunta.
Suponga $\mathbf{G}$ está conectado a un reductor algebraica de grupo a través de una clausura algebraica $\mathbb{K} = \overline{\mathbb{F}_p}$ del campo finito de primer orden $p>0$. Además, supongamos que el $F : \mathbf{G} \to \mathbf{G}$ es un (generalizada) Frobenius endomorfismo de $\mathbf{G}$ admisión de un $\mathbb{F}_q$-racional de la estructura de $G = \mathbf{G}^F$, que es finito, reductora grupo.
Ahora, queremos "sensatez" parametrizar el irreductible personajes de $G$. En general esto significa que la parametrización debe dar, en la medida de lo posible, en términos de los datos de la algebraicas grupo $\mathbf{G}$ y no debe depender de $q$. Sin embargo, a priori no está claro en absoluto que dicha clasificación se puede lograr. Es una de las grandes hazañas de finito grupo de teoría de la representación que Lusztig logró obtener una elegante teoría de la clasificación. Casi recapitulación por debajo de este.
Suponga $\mathbf{T} \leqslant \mathbf{G}$ es $F$-estable máxima toro de $\mathbf{G}$. Para cada carácter irreductible $\theta \in \mathrm{Irr}(T)$ ($T = \mathbf{T}^F$) Deligne y Lusztig han definido, el uso de $\ell$-ádico cohomology, un personaje virtual $R_{\mathbf{T}}^{\mathbf{G}}(\theta)$ de la $G$. Llamamos a esto una Deligne--Lusztig carácter de $G$. El siguiente curcial hecho de que se sabe acerca de estos personajes virtuales:
- El carácter de regular la representación de $G$ es una suma de Deligne--Lusztig caracteres. En particular, todos los $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ se produce en algunos $R_{\mathbf{T}}^{\mathbf{G}}(\theta)$.
Esto es algo sorprendente como esto no es cierto de todas las clases de la función en $G$ (a menos que $\mathbf{G} = \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$)! Con esto uno tiene una probabilidad de al menos montón irreducible personajes juntos, pero para ello necesitamos más información acerca de la Deligne--Lusztig caracteres.
Deje $\mathbf{G}^{\star}$ ser un doble grupo de $\mathbf{G}$ y deje $F^{\star} : \mathbf{G}^{\star} \to \mathbf{G}^{\star}$ ser un (generalizada) Frobenius endomorfismo tal que $G^{\star} = {\mathbf{G}^{\star}}^{F^{\star}}$ es un doble grupo de $G$. Vamos a denotar por $\nabla(\mathbf{G},F)$ el conjunto de todos los pares de $(\mathbf{T},\theta)$ donde $\mathbf{T} \leqslant \mathbf{G}$ es $F$-estable máxima toro y $\theta \in \mathrm{Irr}(\mathbf{T}^F)$. El grupo $G$ actúa de forma natural en este conjunto por la conjugación y se denota las órbitas de esta acción por $\nabla(\mathbf{G},F)/G$. A la inversa se denota por $\nabla^{\star}(\mathbf{G},F)$ el conjunto de todos los pares de $(\mathbf{T}^{\star},s)$ donde $\mathbf{T}^{\star} \leqslant \mathbf{G}^{\star}$ es $F^{\star}$-estable máxima toro y $s \in T^{\star} = {\mathbf{T}^{\star}}^{F^{\star}}$ es semisimple elemento. El grupo $G^{\star}$ también actúa de forma natural en $\nabla^{\star}(\mathbf{G},F)$ por la conjugación y se denota por $\nabla^{\star}(\mathbf{G},F)/G^{\star}$ de las órbitas de esta acción. Con esta notación, tenemos el siguiente resultado:
- Tenemos una natural bijection $\nabla(\mathbf{G},F)/G \to \nabla^{\star}(\mathbf{G},F)/G^{\star}$ que satisface $(\mathbf{T},1_T) \mapsto (\mathbf{T}^{\star},1)$.
Si $(\mathbf{T},\theta)$, $(\mathbf{T}',\theta') \in \nabla(\mathbf{G},F)$ están en el mismo $G$-órbita, a continuación, tenemos $R_{\mathbf{T}}^{\mathbf{G}}(\theta) = R_{\mathbf{T}'}^{\mathbf{G}}(\theta')$. En particular, si $(\mathbf{T},\theta)$ corresponde a $(\mathbf{T}^{\star},s)$, en virtud de la bijection entonces podemos simplemente escribir $R_{\mathbf{T}^{\star}}^{\mathbf{G}}(s)$ para $R_{\mathbf{T}}^{\mathbf{G}}(\theta)$. Con esto en la mano, podemos afirmar que uno de los más importantes teoremas relativos a Deligne--Lusztig caracteres.
- Suponga $(\mathbf{T}^{\star},s)$ e $({\mathbf{T}^{\star}}',s')$ no están en el mismo $G^{\star}$-órbita, a continuación, $R_{\mathbf{T}^{\star}}^{\mathbf{G}}(s)$ e $R_{{\mathbf{T}^{\star}}'}^{\mathbf{G}}(s')$ no tienen irreductible de los componentes en común.
Ahora, para cualquier semisimple elemento $s \in G^{\star}$ denotamos por $\mathcal{E}(G,s)$ el conjunto de todos los caracteres irreducibles de $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ tal que $\chi$ es un constituyente de $R_{\mathbf{T}^{\star}}^{\mathbf{G}}(s)$ para algunos $F^{\star}$-estable máxima torus $\mathbf{T}^{\star}$ contiene $s$. El conjunto $\mathcal{E}(G,s)$ se llama Lusztig serie de $G$ y por los de arriba tenemos un discontinuo de la unión
$$\mathrm{Irr}(G) = \bigsqcup_{(s)} \mathcal{E}(G,s)$$
cuando la unión se ejecuta sobre todos los $G^{\star}$-clases conjugacy de semisimple elementos de $G^{\star}$.
Vamos ahora a suponer que el centro de la $Z(\mathbf{G})$ de % de $\mathbf{G}$ está conectado (declaraciones similares se mantienen cuando se $Z(\mathbf{G})$ no está conectado, pero esto es más complicado para el estado). Uno de los más sorprendentes piezas de Lusztig la clasificación resultado es que, bajo este supuesto, existe un bijection
$$\mathcal{E}(G,s) \to \mathcal{E}(C_{G^{\star}}(s),1)$$
donde $C_{G^{\star}}(s)$ es el centraliser de $s$ en $G^{\star}$. Tenga en cuenta que, como $Z(\mathbf{G})$ está conectado hemos $C_{\mathbf{G}^{\star}}(s)$ está conectado a un reductor algebraica de grupo. Como $F^{\star}(s) = s$ tenemos $F^{\star}$ induce un (generalizada) Frobenius endomorfismo de $C_{\mathbf{G}^{\star}}(s)$ e lo $C_{G^{\star}}(s) = C_{\mathbf{G}^{\star}}(s)^{F^{\star}}$ es finita reductora grupo.
La parte crucial de Lusztig del resultado de clasificación está dada por el siguiente resultado:
- Suponga $\mathbf{H}$ está conectado a un reductor algebraica de grupo y $F : \mathbf{H} \to \mathbf{H}$ es un (generalizada) Frobenius endomorfismo de $\mathbf{H}$. Deje $\mathbf{T}_0 \leqslant\mathbf{B}_0\leqslant \mathbf{H}$ ser $F$-estable máxima toro y Borel subgrupo de $\mathbf{H}$. Estos datos determina un Coxeter sistema de $(\mathbf{W},\mathbb{S})$ donde $\mathbf{W} = N_{\mathbf{H}}(\mathbf{T}_0)/\mathbf{T}_0$ e $\mathbb{S}$ es un conjunto de Coxeter generadores determinado por $\mathbf{B}_0$. Por nuestras opciones $F$ induce un automorphism $\gamma : \mathbf{W} \to \mathbf{W}$ que estabiliza $\mathbb{S}$ (es decir, es un automorphism de la Coxeter sistema de $(\mathbf{W},\mathbb{S})$). Lusztig ha demostrado que no es un bijection $$\mathcal{E}(H,1) \to X(\mathbf{W},\gamma)$$ where $X(\mathbf{W},\gamma)$ is a set whose definition depends only on $\mathbf{W}$ and $\gamma$.
Esto es de alguna manera verdaderamente sorprendente. Que estos caracteres irreducibles de $\mathcal{E}(H,1)$ parametrizable "independientemente de $q$". Esto nos da la clasificación que nosotros deseamos. De hecho, es realmente sólo la clasificación de la semisimple clases conjugacy de $G^{\star}$ que depende realmente de $q$. Tenga en cuenta que esto imita la clasificación de las clases conjugacy de $G$. En general, una clase conjugacy de $G$ es un producto $(s)\mathcal{O}$ donde $(s)$ es semisimple conjugacy clase de $G$ e $\mathcal{O}$ es un unipotentes conjugacy clase de $C_G^{\circ}(s) = C_{\mathbf{G}}^{\circ}(s)^F$. El unipotentes conjugacy clases conjugacy son parametrizados "independientemente de $q$" y dependen únicamente de la acción de $F$ en la raíz del sistema de $C_{\mathbf{G}}(s)$.
Consideremos ahora el caso en que $\mathbf{U}_n$ es el grupo de unitriangular matrices en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ e $F : \mathbf{U}_n \to \mathbf{U}_n$ es el Frobenius endomorfismo $F(x_{ij}) = (x_{ij}^q)$, de modo que $\mathbf{U}_n^F = \mathrm{U}_n(q)$. Ahora se puede tomar la estrategia para un finito reductora grupos y aplicar a nuestra situación aquí. En particular, nos gustaría hacer lo siguiente:
- Romper $\mathrm{Irr}(\mathrm{U}_n(q))$ en la serie de $\mathcal{F}_i$ de manera tal que la irreductible caracteres en cada una de las $\mathcal{F}_i$ parametrizable "independientemente de $q$".
La teoría de la supercharacters proporciona una forma para determinar la serie de $\mathcal{F}_i$ (véase "Supercharacters y Superclases del Álgebra de Grupos" por Diaconis y Isaacs). En particular, estos se dan por el cierre transitivo de la condición de que dos irreductible personajes se producen como constituyentes de un supercharacter. Estas series tienen un buen combinatoria descripción, pero en contraste con el caso de finito reductiva de los grupos una vez que no puede parametrizar $\mathcal{F}_i$ independientemente de $q$. En este sentido, el problema es salvaje. Ver este documento por Marberg de hacer un resumen sobre la supercharacter teoría de la $\mathrm{U}_n(q)$
http://arxiv.org/pdf/1005.4150v4.pdf
Otro enfoque para el carácter de la teoría de $\mathrm{U}_n(q)$ está dado por la teoría del carácter de las poleas en $\mathbf{U}$. Esta teoría (conjeturado por Lusztig) fue desarrollado por Boyarchenko y Drinfeld. En el Teorema 1.13 de
http://arxiv.org/pdf/1006.2476v3.pdf
Boyarchenko da una clasificación de la irreductible personajes de $\mathrm{U}_n(q)$ en términos de mínima idempotents de la $\mathbf{U}$-equivariant limitada derivada de la categoría de $\overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$-edificable poleas en $\mathbf{U}$. Esto también puede dar una forma de ver por qué la clasificación de estos personajes es salvaje, mostrando que la clasificación de tales mínimos idempotents es también un salvaje problema.
Uno también tiene una manera de romper el irreductible a los personajes en la serie basada en la teoría de la $L$-paquetes. Este enfoque es similar a la Lusztig serie encontradas en el caso de finito reductora grupos.
