¿Cuál es el grupo de automorfismos del espacio proyectivo ponderado$\mathbb{P}(a_{0},...,a_{n})$? Considere el caso más simple de un plano proyectivo ponderado, tome por ejemplo$\mathbb{P}(2,3,4)$; cualquier automorfismo tiene que arreglar los dos puntos singulares. Considere un punto suave$p\in\mathbb{P}(2,3,4)$. ¿Cuál es el subgrupo de los automorfismos de$\mathbb{P}(2,3,4)$ fijación$p$?
Respuestas
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El grupo de automorfismo es el cociente del grupo de automorfismo del álgebra graduada correspondiente mediante un toro unidimensional que actúa mediante reescalamiento. En el caso particular de$P(2,3,4)$, el álgebra graduada es$A = k[x_2,x_3,x_4]$ con$\deg x_i = i$. Tenga en cuenta que cualquier automorfismo debe tomar$x_2 \to a x_2$,$x_3 \to b x_3$ (ya que esos son solo elementos de$A$ de grado 2 y 3) y$x_4 \mapsto c x_4 + d x_2^2$. Por lo tanto, el grupo se puede escribir como$((k^*)^3 \ltimes k) / k^*$, donde$\ltimes$ representa el producto semidirecto.
Mircea Chirea
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rwols
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Sólo para complementar Al-Amrani la respuesta (y a la auto-promover un poco): el automorphism 2-grupo de la ponderado ponderado proyectiva de la pila de $\mathbb{P}_S(a_1,\ldots,a_n)$ sobre una base arbitraria esquema de $S$ ha sido calculada, y su estructura elaborada, en https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.05.002
Si no estoy malentendido algo, Al-Amrani el resultado puede ser interpretado como decir que el $\pi_0$ de las 2-el grupo de automorfismos de la pila es isomorfo al grupo de automorfismos de su gruesa módulos de espacio (es decir, el correspondiente ponderado proyectiva del espacio).
