Reconciliar los resultados de Lusztig con la filosofía de Langlands

Question

Dejemos que $\boldsymbol{G}$ sea un grupo reductor sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ , $G = \boldsymbol{G}(\mathbb{F}_q)$ , $W = \mathrm{W}(\mathbb{F}_q)$ los vectores de Witt sobre $\mathbb{F}_q$ y $K = \mathrm{Frac}(W)$ su campo de fracción. Abusaré de la notación escribiendo también $\boldsymbol{G}$ para el correspondiente grupo reductor (no ramificado) sobre $K$ .

Cuando $\boldsymbol{G}$ tiene centro conectado, Lusztig demuestra lo siguiente:

Teorema. Existe una biyección canónica entre (clases de isomorfismo de) irreducibles $\overline{K}$ -representaciones de $G$ y clases especiales de conjugación en $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ estable bajo $g \mapsto g^q$ .

Aquí $\widehat{\boldsymbol{G}}$ es el grupo dual de $\boldsymbol{G}$ . La condición de ser especial es una condición de Lusztig relativa a las representaciones especiales de los grupos de Weyl a través de la correspondencia de Springer.

Por otro lado, se podría escribir un enunciado tipo Langlands de la siguiente manera: irreducible $\overline{K}$ -representaciones de $G$ debe corresponder a $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ -clases de conjugación de $L$ -parámetros para $G$ .
Una posible definición de un $L$ -es el de un homomorfismo sobre $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_q}/\mathbb{F}_q)$ de la forma $$\varphi \colon \langle \mathrm{Frob}_q \rangle \times \mathrm{SL}_2(\overline{K}) \to {}^L \boldsymbol{G}(\overline{K}), $$ donde ${}^L \boldsymbol{G} = \widehat{\boldsymbol{G}} \rtimes \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_q}/\mathbb{F}_q)$ es el grupo dual de Langlands de $\boldsymbol{G}$ y donde requerimos $\mathrm{Frob}_q$ para tener una imagen semisimple en $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ y la restricción de $\varphi$ a $\mathrm{SL}_2(\overline{K})$ para ser algebraico.
Por supuesto, en esta situación, los datos de un $L$ -parámetro $\varphi$ es equivalente a la de un tipo particular de $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ -clase de conjugación en ${}^L \boldsymbol{G}(\overline{K})$ . Sin embargo, las condiciones de Lusztig sobre las clases de conjugación no aparecen en ninguna parte. Por ejemplo, cuando $\boldsymbol{G}$ se divide, un $L$ -es simplemente un parámetro $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ -clase de conjugación en $\widehat{\boldsymbol{G}}(\overline{K})$ .
En su lugar, podríamos añadir una condición adicional que fijara la imagen de $\mathrm{Frob}_q$ para acostarse en $\widehat{\boldsymbol{G}}(K)$ para poner en paralelo el siguiente resultado, perteneciente a la parte semisimple de la correspondencia:

Teorema. Existe una biyección canónica entre (clases de isomorfismo de) semisimples irreducibles $\overline{K}$ -representaciones de $G$ y clases de conjugación semisimples en $\widehat{\boldsymbol{G}}(\mathbb{F}_q)$ .

Sin embargo, tal modificación no explicaría la parte unipotente, ni la condición de ser especial.
Parece, pues, que esta noción de $L$ -es el parámetro equivocado. ¿Cuál es la solución?

Answer 1

La forma en que me gusta pensar en esto es que un parámetro de Langlands para el grupo $G({\mathbb F}_q)$ debe ser la "restricción a la inercia" de un parámetro de Langlands domesticado para el grupo $G(K)$ .

Es decir, un parámetro de Langlands poco exigente (por ejemplo, sobre ${\mathbb C}$ ) para $G(K)$ debe ser un par $(\rho,N)$ , donde $\rho$ es un mapa $W_K \rightarrow \hat G({\mathbb C})$ que se factoriza a través del cociente de la mansedumbre de $W_K$ y $N$ es un "operador de monodromía" nilpotente, es decir, un elemento nilpotente del álgebra de Lie de $\hat G$ que satisface una determinada relación de conmutación con $\rho$ .

El cociente manso de $W_K$ está generada por el subgrupo de inercia dócil $I_K$ y un elemento de Frobenius $F$ ; la teoría de campo de clase local identifica $I_K$ con el límite inductivo de los grupos ${\mathbb F}_{q^n}^{\times}$ y la conjugación por Frobenius actúa sobre ella elevando a $q$ de los poderes.

No tengo los detalles delante de mí, pero si no recuerdo mal la parametrización de Deligne-Lusztig implica varias opciones (por ejemplo, una identificación de $\overline{\mathbb F}_q^{\times}$ con un espacio adecuado de raíces de la unidad en ${\mathbb C}$ .) Entiendo que si uno desenrolla estas elecciones, equivalen a una elección de generador topológico $\sigma$ para el límite inductivo del ${\mathbb F}_{q^n}^{\times}$ .

Así, si se parte de un parámetro de Langlands $(\rho,N)$ para $G(K)$ y restringe $\rho$ a la inercia, esta restricción está determinada por $\rho(\sigma)$ que es un elemento semisimple de $\hat G({\mathbb C})$ que es conjugado con su $q$ de la potencia. El par $(\rho(\sigma),N)$ debe ser el parámetro Langlands para el grupo $G({\mathbb F}_q)$ .

Entonces debería haber (aproximadamente) una compatibilidad entre la profundidad cero local de Langlands y la parametrización de Deligne-Lusztig, como sigue: dejemos que $K$ sea el núcleo del mapa de reducción $G(W) \rightarrow G({\mathbb F}_q)$ y que $\pi$ sea un irrep de $G(K)$ con Parámetro de Langlands $(\rho,N)$ . Entonces el $K$ -invariantes $\pi^K$ de $\pi$ son naturalmente un $G({\mathbb F}_q)$ -representación, y $\pi^K$ debe contener la representación de $G({\mathbb F}_q)$ correspondiente a $(\rho(\sigma),N)$ vía Deligne-Lusztig. Hay que tomar esto con un poco de sal, ya que no he pensado bien los detalles. Pero debería ser correcto a nivel "moral", al menos.

Para $GL_n$ esto cae bajo la rúbrica de la llamada "correspondencia local inercial de Langlands". Para grupos más generales el panorama es más conjetural, pero hay hay ideas en este sentido en el artículo de DeBacker-Reeder sobre la correspondencia local de Langlands de profundidad cero.