¿Cuándo una forma modular satisface una ecuación diferencial con coeficientes racionales?

Question

Dada una forma modular $f$ de peso $k$ para un subgrupo de congruencia $\Gamma$ y una función modular $t$ con $t(i\infty)=0$ podemos formar una función $F$ tal que $F(t(z))=f(z)$ (al menos localmente), y sabemos que este $F$ debe satisfacer ahora una ecuación diferencial ordinaria lineal $$P_{k+1}(T)F^{(k+1)} + P_{k}(T)F^{(k)} + ... + P_{0}(T)F = 0$$

Dónde $F^{(i)}$ es la derivada i-ésima, y el $P_i$ son funciones algebraicas de $T$ y son funciones racionales de $T$ si $t$ es un Hauptmodul para $X(\Gamma)$ .

Mi pregunta es la siguiente:

dada una forma modular $f$ ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una función modular $t$ como en el caso anterior, de manera que el $P_i(T)$ ¿son funciones racionales?

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Por ejemplo, la condición suficiente más sencilla es que $X(\Gamma)$ tiene género 0, dejando que $t$ sea un Hauptmodul. Pero, esto no es necesario, como la siguiente condición mostrará.

Otra condición suficiente es que $f$ es una eigenforma racional de peso 2. Puedo demostrarlo usando la construcción* de Shimura de una curva elíptica asociada, y un cálculo de un logaritmo para el grupo formal en algunas coordenadas (*cualquier elección en la clase de isogenia funcionará).

Tratando de generalizar, he pensado en lo siguiente: si $f$ se asocia a un motivo $h^i(V)$ de una variedad $V$ con un grupo formal Artin-Mazur pro-representable $\Phi^i(V)$ de dimensión 1, entonces podemos construir una ley de grupo formal al estilo de Stienstra, y obtener un logaritmo utilizando los coeficientes de las potencias de un determinado polinomio. Esto hace que el logaritmo satisfaga una ecuación diferencial con funciones racionales como coeficientes. Como la dimensión es 1, el isomorfismo de vuelta a las "coordenadas modulares" será una única función modular $t$ y esto responde positivamente a la pregunta.

Esta fue la motivación original de la pregunta - una respuesta positiva es más débil, pero tal vez sugiere la existencia de variedades asociadas a eigenformas racionales.

Dejando de lado las no-eigenformas, ya que no me interesan tanto, nos quedan las eigenformas no racionales. Podemos intentar realizar la misma construcción de Stienstra, pero esta vez obtenemos que la órbita de galois de $f$ se asocia a una "ley de grupo formal" de un motivo con dimensión mayor que uno. Esto dará lugar a una interesante recurrencia para el vector de la órbita de galois, pero no necesariamente para cada forma individualmente, ya que el isomorfismo de las leyes de grupos formales (entre las de Stienstra y las de las formas modulares como logaritmo) podría revolverlas. Quizás no, y esto resuelve quizás la cuestión. Me doy cuenta de que este último párrafo puede ser difícil de entender, pues la redacción es torpe, y las nociones matemáticas son aún peores. Si realmente te interesa, estaré encantado de explicarlo.

Answer 1

Dejemos que $K$ sea el cierre algebraico del campo diferencial $\mathbb{C}(T)$ .

Dejemos que $\partial$ denotan la diferenciación con respecto a $T$ . Ahora $\mathbb{C}(T)[\partial] \subseteq K[\partial]$ son anillos de operadores diferenciales. Su función $F$ es una solución de $L(F)=0$ donde $L \in K[\partial]$ es el operador diferencial $L = P_{k+1} \partial^{k+1} + \cdots + P_0 \partial^0$ . Los anillos $\mathbb{C}(T)[\partial]$ y $K[\partial]$ (multiplicación = composición) satisfacen todas las propiedades de un dominio euclidiano excepto la conmutatividad. En particular, se puede definir un LCLM (mínimo común múltiplo por la izquierda) que se comporta igual que un LCM en los dominios euclidianos.

Dejemos que $L_1,\ldots,L_d$ sean los conjugados de $L$ en $\mathbb{C}(T)$ obtenido mediante la aplicación de ${\rm Gal}(K/\mathbb{C}(T))$ a $P_{k+1},\ldots,P_0$ . Ahora dejemos que $M = {\rm LCLM}(L_1,\ldots,L_d)$ . Entonces $M \in \mathbb{C}(T)[\partial]$ y $M$ es divisible a la derecha por $L$ . En particular $M(F)=0$ .

En resumen: Cualquier función $F$ que satisface un operador diferencial lineal $L$ con coeficientes de función algebraica también satisfará un operador diferencial lineal $M$ con coeficientes de función racional. En Maple puedes encontrar $M$ con el comando DEtools[LCLM](L, `y conjugados`);