Aplicaciones de la estructura de topología de cuerdas

Question

Chas y Sullivan construido en 1999 una Batalin-Vilkovisky álgebra estructura en el pasado homología del bucle espacio de un colector: $\mathbb{H}_*(LM) := H_{*+d}(LM;\mathbb{Q})$. Esta estructura incluye un producto que combina la intersección del producto y de Pontryagin producto y una BV operater $\Delta: \mathbb{H}_*(LM) \to \mathbb{H}_{*+1}(LM)$.

Me preguntaba acerca de las aplicaciones de esta estructura. Tiene incluso se ha utilizado para demostrar teoremas en otras partes de las matemáticas? Una cuestión más concreta es la siguiente: por lo general, teniendo en cuenta una más complicada estructura de invariantes topológicos de un espacio que te permite demostrar que a algunos no existince resultados. Por ejemplo, la copa del producto en cohomology permite distinguir entre $S^2 \vee S^1 \vee S^1$
y $T^2$. Hay un ejemplo de este tipo de cadena de topología?

Answer 1

Hossein Abbaspour dio una interesante conexión entre la 3-variedad de la topología y de la cadena de topología algebraica estructura en arXiv:0310112. El mapa de $M \to LM$ dado por el envío de un punto de $x$ a la constante bucle en $x$ permite dividir

$\mathbb{H}_*(LM)$ as $H_*(M) \oplus A_M$.

Él mostró que, en esencia, que la restricción de la cadena de productos para el $A_M$ sumando es no trivial si y sólo si $M$ es hiperbólica. Hay algunos detalles técnicos en las declaraciones en su papel, pero fue escrito pre-Perelman y creo que las declaraciones se pueden hacer un poco más elegante a la luz de la Geometrización de Teorema.

Filosóficamente, Sullivan ha dicho que su objetivo en la invención de la cadena de topología fue tratar de encontrar nuevos invariantes de suave estructuras en los colectores. Su idea original era que si usted tiene que utilizar la suave estructura suavemente poner cadenas en la transversal de las posiciones que se cruzan de ellos, entonces usted podría esperar que la respuesta dependerá de la suave estructura. Por desgracia, ahora sabemos que la cadena de la topología de la BV álgebra sólo depende de la subyacente homotopy tipo de colector (ahora hay muy pocas pruebas de las distintas partes de esta declaración).

La cadena de la topología de la BV el álgebra es sólo una pieza de un potencialmente mucho más rica estructura algebraica. A grandes rasgos, $\mathbb{H}_*(LM)$ es un homológica la teoría conforme de campos. Este se cree que es verdadero para bastante tiempo, pero me tomó un tiempo antes de que finalmente fue producido por Veronique Godin arxiv:0711.4859. Ella construyó una acción de la PROPOSICIÓN hecha a partir de la homología de los módulos de espacios de superficies de Riemann con límite. La restricción de esta acción, a los pares de pantalones recupera el original Chas-Sullivan estructura.

Lamentablemente, por razones grado, casi todos los de la mayor de las operaciones de desaparecer. En particular, cualquier operación dada por una clase en la Harer rango estable de la homología del espacio de moduli debe actuar por cero. Hirotaka Tamanoi tiene un documento que especifica los detalles, pero no es nada profundo.

Además, parece que la mayor de las operaciones son homotopy invariante así. Por ejemplo Lurie se presenta esto como un corolario de su trabajo en la clasificación topológica de campo de las teorías.

Lo último que escuché, Sullivan, siempre optimista, cree que todavía hay esperanza para la cadena de topología para detectar suave estructuras. Él dice que uno debe ser capaz de extender a partir de los módulos de espacios de superficies de Riemann para una determinada pieza de la frontera de los Deligne-Mumford compactification. He oído que el parcial compactification aquí está destinada a ser que uno permite a los nodos de la forma, pero sólo en la medida en que los nodos colectivamente, no separar el entrante componentes del borde de la saliente de la frontera. Sullivan ahora tiene algunos motivos para la esperanza de que las operaciones provenientes de la homología de clases relacionadas con los límites de estos espacios de moduli podría ver algo de información sobre el subyacente suave de la estructura del colector.

Answer 2

Como un enchufe descarado, puedo decir que en mi tesis nos muestra que la cadena de topología, interpretado en un contexto más amplio, NO es un homotopy invariante. Lo que hacemos es la siguiente : en lugar de mirar los bucles en $M$ pensamos en ellos como los arcos de $M\times M$ con su límite en la diagonal $M$ que se encuentra dentro de $M\times M$. Ahora nos fijamos en el espacio de tales arcos $\mathcal{S}(M)$, que, cuando se cruzan las diagonales en etapas intermedias, hacerlo transversalmente. Entonces, uno puede definir un adecuado coalgebra estructura que NO es un homotopy invariante. En particular, esta estructura se distingue de la Lente espacios de $L(7,1)$ de $L(7,2)$, los cuales son homotopy equivalentes, pero NO homeomórficos.

Por supuesto, esta nueva estructura no está relacionado con el producto de ciclo o de la BV operador como por la pregunta. Por otra parte, esta estructura se define en un espacio mucho más pequeño, a continuación,$LM$. Sin embargo, si se toma el punto de vista de que la cadena de topología es en gran parte el estudio de los bucles en un colector, entonces este es un nuevo e interesante estructura algebraica.

Answer 3

Consideremos $SU(3)$ e $S^3\times S^5$. Estos dos $8$-colectores no son homotopy equivalente. Usted no puede ver este mirando sus cohomology grupos o cohomology de los anillos, pero se puede ver el uso de la acción de la álgebra de Steenrod: $Sq^2\colon H^3(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to H^5(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es cero para $M=S^3\times S^5$ y un valor distinto de cero para $M=SU(3)$.

También podríamos hacer uso de la cadena de topología para distinguir entre el $SU(3)$ e $S^3\times S^5$. He aquí cómo. En primer lugar, buscar la Batalin-Vilkovisky álgebras. Tamanoi calcula el resultado de $SU(n)$ y Menichi calcula los resultados para las esferas. Es suficiente para utilizar $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de los coeficientes. Segundo, comparar los dos. Usted puede ver que son isomorfos (boo), pero que no isomorfismo para preservar el "constante bucle sumando" $\mathbb{H}_\ast(M)$ que se encuentra dentro de la BV de álgebra. Así, en particular, el isomorfismo no puede venir de un homotopy la equivalencia entre los dos colectores.

Por supuesto que ya sabía que estos espacios no fueron homotopy equivalente, y hubiera sido mucho mejor si la BV álgebras no fueron isomorfo a todos. En general, el cómputo de la BV álgebras es bastante difícil, y probablemente no es una manera eficaz para distinguir entre los colectores.

Answer 4

Kallel y Salvatore usan el producto de cadena para ayudar a calcular la homología de un espacio de mapeo en este documento.

Answer 5

Aunque se pueda argumentar que no está saliendo demasiado del área, en cierto sentido, es posible que desee mirar el papel de Xiaojun Chen, Wee Liang Gan, http://arxiv.org/abs/0804.4748 .