Casi la misma pregunta que se ha solicitado en MO Motivación para algebraica de K-teoría? Sin embargo, para mi gusto, las respuestas no considerar el tema desde una más moderna punto de vista.
Cuando abro un libro sobre algebraica de K-teoría (no soy un experto) veo que varios complicado muy ingeniosas construcciones que se convierten en el equivalente de misteriosa (para mí) razones. Lo que no entiendo, ¿cuál es el problema exactamente Quillen trató de resolver?
Hay propiedades que cualquier mayor algebraica de K-teoría se espera que para satisfacer a priori como el largo exacto de secuencias (suponiendo que $K^0$ es conocido)? Me doy cuenta de que en cualquier formulación que tiene que ser functorial, pero esto no nos dice mucho, a menos que se conozca más información.
Con el fin de dar un ejemplo de una respuesta en la que sería una especie de convincente para mí, voy a tratar de resumir mi entendimiento de topológico $K$-teoría. Puesto que yo no soy un experto, este conocimiento es incompleto y a la tierra, pero esto es lo que estoy buscando en la algebraicas caso. En lo que sigue, los dos primeros párrafos son acerca de la motivación de topológico $K$-teoría, mientras que los otros dos son sobre aplicaciones concretas de la misma.
1) Grothendieck definido algebraicas $K^0$ anillo de los esquemas a fin de formular su generalización de Riemann-Roch-Hirzebruch teorema. La construcción utiliza algebraica de vectores de paquetes. Topológico $K^0$ fue definido por la analogía que utiliza topológico vector de paquetes.
2) Mayor topológico $K$-grupos fueron introducidos con el fin de tener la de Mayer-Vietoris largo exacto de la secuencia de pares de espacios.
3) Hay una importante construcción de elementos de $K^0$-grupos: cualquier elíptica (pseudo-) diferencial operador define un elemento en $K$-teoría de la tangente paquete. Esta construcción es necesaria para la formulación de la Atiyah-Singer teorema.
4) Después de algunas identificaciones basadas en la periodicidad de Bott, más racional $K$-anillo se convierte en isomorfo a lo racional cohomology anillo a través de la Chern carácter. Por lo tanto $K^*/torsion$ es un entramado en $H^*(\cdot,\mathbb{Q})$ que es diferente de la celosía $H^*(\cdot,\mathbb{Z})/torsion$. Este canónicos y no obvio integral de la estructura se utilizó para probar algunos no embeddability teoremas.