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La motivación de Quillen de la teoría K algebraica superior

Casi la misma pregunta que se ha solicitado en MO Motivación para algebraica de K-teoría? Sin embargo, para mi gusto, las respuestas no considerar el tema desde una más moderna punto de vista.

Cuando abro un libro sobre algebraica de K-teoría (no soy un experto) veo que varios complicado muy ingeniosas construcciones que se convierten en el equivalente de misteriosa (para mí) razones. Lo que no entiendo, ¿cuál es el problema exactamente Quillen trató de resolver?

Hay propiedades que cualquier mayor algebraica de K-teoría se espera que para satisfacer a priori como el largo exacto de secuencias (suponiendo que $K^0$ es conocido)? Me doy cuenta de que en cualquier formulación que tiene que ser functorial, pero esto no nos dice mucho, a menos que se conozca más información.

Con el fin de dar un ejemplo de una respuesta en la que sería una especie de convincente para mí, voy a tratar de resumir mi entendimiento de topológico $K$-teoría. Puesto que yo no soy un experto, este conocimiento es incompleto y a la tierra, pero esto es lo que estoy buscando en la algebraicas caso. En lo que sigue, los dos primeros párrafos son acerca de la motivación de topológico $K$-teoría, mientras que los otros dos son sobre aplicaciones concretas de la misma.

1) Grothendieck definido algebraicas $K^0$ anillo de los esquemas a fin de formular su generalización de Riemann-Roch-Hirzebruch teorema. La construcción utiliza algebraica de vectores de paquetes. Topológico $K^0$ fue definido por la analogía que utiliza topológico vector de paquetes.

2) Mayor topológico $K$-grupos fueron introducidos con el fin de tener la de Mayer-Vietoris largo exacto de la secuencia de pares de espacios.

3) Hay una importante construcción de elementos de $K^0$-grupos: cualquier elíptica (pseudo-) diferencial operador define un elemento en $K$-teoría de la tangente paquete. Esta construcción es necesaria para la formulación de la Atiyah-Singer teorema.

4) Después de algunas identificaciones basadas en la periodicidad de Bott, más racional $K$-anillo se convierte en isomorfo a lo racional cohomology anillo a través de la Chern carácter. Por lo tanto $K^*/torsion$ es un entramado en $H^*(\cdot,\mathbb{Q})$ que es diferente de la celosía $H^*(\cdot,\mathbb{Z})/torsion$. Este canónicos y no obvio integral de la estructura se utilizó para probar algunos no embeddability teoremas.

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Mike Fielden Puntos 3469

Yo no soy ni un K-teórico, ni un historiador, así que no sé todas las cosas que la llevó a Quillen a su definición(s) de mayor K-teoría, pero he pensado que me gustaría mencionar una sorprendente aplicación que se puede encontrar en su papel original. El Chow grupo de una variedad $CH^p(X)$ es el grupo de codimension $p$-ciclos modulo racional de equivalencia. Por muchas razones, es conveniente expresar esto en términos de la gavilla cohomology. Para $p=1$, $CH^1(X)=Pic(X)= H^1(X, O_X^*)$ era conocido por un largo tiempo. Esto puede ser modificado en K-teoría de términos, mediante la observación, el uso de Bass' definición, $O_X^*$ pueden ser identificados de la gavilla asociados a $U\mapsto K_1(O(U))$. Creo que Bloch extendido a $CH^2$ el uso de Milnor de $K_2$. Y, finalmente, Quillen demostrado que $CH^p(X)=H^p(X,K_p(O_X))$ para cualquier variedad regular, y cualquier $p$ el uso de su definición.

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Alex Puntos 116

Esto es realmente sólo una elaboración de Mariano comentario. Como él dijo, Quillen no saltar directamente de la definición de $K_{0}(R)$ definir $K_{n}$ para todos los $n$. Como usted ha notado, algebraicas $K_{0}$ motivado la definición topológica $K^{0}$, que fue ampliado. Desde que la teoría resultó tan fructífera, se esperaba que una expresión algebraica analógico podría ser encontrado, al menos en el caso más simple de un esquema afín, que se reduce entonces a la $K$-teoría de la coordenada anillo de $R$. Una de las razones supongo que esto podría ser una esperanza razonable es que si $R$ es Dedekind, a continuación, $K_{0}(R)$ ya contiene interesantes aritmética de la información (el grupo de clase).

Bajo definidas $K_{1}(R)$ en analogía con la manera en que uno construye los elementos de $K^{-1}(X)$ por encolado trivial paquetes en forma de conos a través de un paquete de automorphism para obtener un paquete en la suspensión. Esta resultó ser la cosa correcta a hacer, como lo demuestra la existencia de una secuencia exacta $$ \bigoplus_{\mathfrak{m}}K_{1}(R/\mathfrak{m}) \rightarrow K_{1}(R) \rightarrow K_{1}(F) \rightarrow \bigoplus_{\mathfrak{m}}K_{0}(R/\mathfrak{m}) \rightarrow K_{0}(R) \rightarrow K_{0}(F) \rightarrow 0,$$ donde $R$ es Dedekind, $F$ es su campo de fracciones y $\mathfrak{M}$ ejecuta a través de todos los máximos ideales de la $R$. Como era de esperar, este también contiene información útil, debido a Milnor, Bajo y Serre la solución de la congruencia de los subgrupos problema, para un número de anillo de $\mathcal{O}_{k}$, el grupo de $K_{1}(\mathcal{O}_{k})$ es el grupo de unidades de $\mathcal{O}_{k}$.

El desarrollo de la $K_{2}$ soy menos claro, pero creo que Milnor el libro sobre algebraicas $K$-teoría da detalles de la prueba que Milnor de $K_{2}$ no extender la secuencia exacta de arriba en la forma deseada, junto con muchos otros dada por el Bajo.

Debo señalar también que la parte inferior $K$-la teoría de los grupos de interés para topologists en este momento, ya que la Whitehead grupo $\operatorname{Wh}(\pi)$, lo que en cierto sentido clasifica $h$-cobordisms, es un cociente de $K_{1}(\mathbb{Z}[\pi])$. El trabajo de (creo) Hatcher y Wagoner mostró que una similar cociente de $K_{2}(\mathbb{Z}[\pi])$ codificados de manera similar interesante topológica de la información.

Así que en respuesta a tu pregunta original, sí había mucho tiempo exacto de las secuencias que más algebraicas $K$-teoría de la que se esperaba para satisfacer, a saber, la extensión natural de la secuencia exacta de arriba (para un dominio de Dedekind). Quillen la definición de la mayor algebraicas $K$-grupos de un exacto categoría le permitió demostrar que, como consecuencia de la Resolución, Devissage y la Localización de los teoremas (Una pregunta para alguien más: ¿esta larga secuencia exacta ser construido a partir de la definición original de mayor algebraicas $K$-teoría de los anillos?).

Espero que esto sea útil de alguna manera, aunque estoy seguro de que hay mucho más a la historia. Las ideas anteriores, y muchos más, están cubiertos en mucho más detalle en Dan Grayson agradable encuesta de Quillen del trabajo en algebraicas $K$-teoría.

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Bradley Harris Puntos 624

Como apéndice a Tom Harris bonita respuesta, puede ser vale la pena mencionar que la idea de la definición algebraica de K-grupos como el homotopy grupos de algo que fue, sin duda, en el aire antes de Quillen, por ejemplo, en la obra de Cisne, Gersten, y Karoubi-Villamayor.

En particular, Karoubi-Villamayor (pre-Quillen) define la mayor K-teoría de un anillo de $R$ como el homotopy grupos de la simplicial complejo que ha $GL(R[t_0,\ldots,t_n]/(\sum t_i=1)$ en la $n$º lugar (con cara de mapas se define mediante el establecimiento de diversos $t_i=0$). Esto resultó funciona bien sólo cuando el anillo de $R$ es regular, en cuyo caso coincide (no obviamente) con Quillen la definición.

7voto

JamesWampler Puntos 408

Gracias a el link http://www-irma.u-strasbg.fr/~loday/DanQuillen-par-JLL.pdf mencionados por Philippe de Gaucher, he aprendido algo acerca de Quillen la motivación de la $+$-construcción (aunque todavía hay muchas lagunas en mi conocimiento de la evolución de la situación). A continuación es un muy breve resumen de lo que yo podía entender. La referencia original es "En el Cohomology y K-Teoría de la General Lineal de los Grupos de Más de un Campo Finito", Daniel Quillen, Ann. Math., Vol. 96, Nº 3 (Nov., 1972), pp 552-586.

Lo más sorprendente de todo es que aprendí que Quillen fue la resolución de un problema ajeno a la algebraicas $K$-teoría: se calcula que el grupo cohomology $H^*(GL_n(\mathbb{F}_q),\mathbb{F}_l)$ de los lineales de grupo a través del campo finito con coeficientes en otro campo finito $\mathbb{F}_l$ donde $l$ es un número primo no dividiendo $q$. Como un primer paso basado en la Brauder la teoría de los caracteres de grupos finitos, Quillen parte reducida de este problema a la topológico se trata de describir la homotopy de la fibra del mapa $BU\overset{\Psi^q-Id}{\to} BU$ donde $BU$ es la clasificación de espacio de las infinitas grupo unitario, y $\Psi^q$ es el $q$-th Adams operación. Él demostró que este homotopy fibra tiene la misma homología como la clasificación de espacio $BGL(\mathbb{F}_q)$, pero el $\pi_1$ grupo de la primera es igual a la abelinization de la $\pi_1$ de las segundas. A continuación, Quillen se dio cuenta de que se puede conectar 2 - y 3-las células a $BGL(\mathbb{F}_q)$ en un complicado camino para conseguir el espacio con las propiedades deseadas.

Tratando de comprender y generalizar su construcción, Quillen observa que para cualquier unital anillo de $R$ si uno se adhiere 2 - y 3-las células de la misma manera a $BGL(R)$, se obtiene el espacio con la misma homología, pero con la abelinized grupo fundamental; el espacio se denota $BGL(R)^+$.

Se sigue inmediatamente de la construcción que $\pi_1(BGL(R)^+)=K_1(R)$. Quillen fue capaz de demostrar que $\pi_2(BGL(R)^+)=K_2(R)$; el $K_2$ grupo ya era conocido en el momento. Parece probable que estos dos cálculos combinado con la estética general de la belleza y la elegancia de la $+$-construcción fueron sugerente para el estudio de mayor homotopy grupos de la $+$-de la construcción. Sin embargo, en este punto de mi comprensión de la intuición se detiene, ya que al parecer en lugar de seguir por este camino, Quillen introdujo una muy diferente (pero eventualmente equivalente) misterioso Q-construcción, que fue utilizado para definir la mayor $K$grupos de programas y probar una de Mayer-Vietoris tipo de secuencia para ellos.

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