Sobre la integrabilidad de Riemann de las funciones compuestas

Question

Hace poco, mientras enseñaba cálculo, un estudiante de primer año me preguntó por las condiciones de integrabilidad de Riemann de las funciones compuestas.

Para la función compuesta $f \circ g$ Presentó tres casos: 1) ambos $f$ y $g$ son integrables de Riemann; 2) $f$ es continua y $g$ es integrable de Riemann; 3) $f$ es integrable de Riemann y $g$ es continua.

Para el caso 1 hay un contraejemplo utilizando la función de Riemann. Para el caso 2 la prueba de la integrabilidad es sencilla. Sin embargo, para el caso 3, no puedo dar una prueba ni construir ningún contraejemplo. Incluso bajo la condición de que $g$ es diferenciable, no puedo resolver nada. ¿Cómo responder a mi estudiante?

Answer 1

Dejemos que $f$ sea acotado y discontinuo exactamente en el conjunto de Cantor $C$ (por ejemplo, la función característica de $C$ ). Sea $g$ sea continua y creciente en $[0,1]$ y mapear un conjunto de medida positiva (por ejemplo un conjunto gordo de Cantor) sobre $C$ . Entonces $f \circ g$ es discontinua en un conjunto de medida positiva. Así que $f$ es integrable de Riemann, $g$ es continua, y $f \circ g$ no es integrable de Riemann. Por supuesto, un estudiante de primer año de cálculo no conoce la "medida cero", así que este ejemplo no es bueno para un curso elemental.

Answer 2

Advertencia: no es una respuesta. Más bien, algunos comentarios y algunos enlaces.

Yo mismo me encontré con esta cuestión cuando impartía un curso de análisis real de grado hace algunos años. La cuestión es que en el desarrollo de la integral de Riemann/Darboux, un resultado técnico estándar es que si $f: [a,b] \rightarrow [c,d]$ es integrable y $\varphi: [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces $\varphi \circ f$ es integrable. Se deduce fácilmente que el producto de dos funciones integrables es integrable (lo que no es tan obvio de otro modo). Este resultado aparece, por ejemplo, como Teorema 6.11 en la obra de Rudin Principios del análisis matemático .

Es fácil ver que la composición de funciones integrables no necesita ser integrable. Así que es natural preguntarse si funciona al revés. Sorprendentemente, no conozco ningún texto estándar que aborde esta cuestión. Rudin plantea inmediatamente una pregunta mucho más ambiciosa y luego pasa directamente a otra cosa.

En su momento me convencí de la existencia de continuos $f$ y integrable $\varphi$ tal que $\varphi \circ f$ no era integrable. Sin embargo, para hacerlo necesitaba utilizar ideas más avanzadas de las que podía explicar en mi curso. Al menos, esto es lo que dice la página 7 de mis notas de clase:

http://math.uga.edu/~pete/243integrals2.pdf

Lamentablemente no anoté el contraejemplo que tenía en mente (supongo que entonces me aferraba ingenuamente a la idea de que los apuntes de clase eran para los alumnos y no para preservar mi propio conocimiento del material en los años venideros), así que ahora no sé cuál era.

El ejemplo del artículo mensual de Jitan Lu de 1999 al que se refiere Qiaochu parece lo suficientemente elemental como para que al menos se haga referencia a él en los textos y cursos, y posiblemente se incluya explícitamente. Para los que no pudieron conseguir el artículo completo en el enlace anterior, ahora también está disponible aquí:

http://math.uga.edu/~pete/Lu99.pdf

Por supuesto, no creo ni por un segundo que un ejemplo de este tipo (es decir, demostrar que los integrables $\circ$ continua no tiene por qué ser integrable) se construyó por primera vez en 1999. ¿Puede alguien proporcionar una referencia anterior? (Nunca sé cómo resolver problemas de historia de las matemáticas como éste.) Debo decir que me impresiona que Qiaochu haya sido capaz de localizar este documento. La reseña de MathSciNet es bastante poco útil. Dice:

En esta nota se da el siguiente resultado. Si $f$ es una función integrable de Riemann definida en $[a,b],\ g$ es una función diferenciable con derivada continua no nula en $[c,d]$ y el rango de $g$ está contenida en $[a,b]$ entonces $f\circ g$ es integrable de Riemann en $[c,d]$ .

Este no es el resultado principal del artículo, sino una proposición que se enuncia (¡sin pruebas!) al final.

Answer 3

Creo que es falso, pero no estoy 100% seguro de esta construcción: dejemos $g$ sea una función continua que toma el valor cero en un ningún conjunto denso de medida positiva $E$ pero con valores no nulos en un subconjunto denso del complemento de $E$ . Sea $f$ sea una función que es continua excepto por una discontinuidad en cero. Entonces $f(g)$ no puede ser integrable en Riemann por Caracterización de Lebesgue ya que es discontinua en un conjunto de medida positiva.

Por otro lado, el resultado es cierto para $g$ monótona ya que es posible encontrar la preimagen de cualquier partición. De forma más general, es cierto para $g$ que "cambia de dirección" con una frecuencia finita. El problema es cuando $g$ oscila demasiado.

Editar: Todavía no sé si lo anterior funciona (tengo un poco de desconfianza sobre si $g$ existe), pero un contraejemplo explícito es dado por Jitan Lu en este artículo de AMM. El contraejemplo parece ser similar en espíritu; Lu construye un conjunto Cantor gordo para hacerlo.

Answer 4

No estoy seguro de esto, pero creo que un simple contraejemplo sería: $f(x) = 1/\sqrt{x}$ que es integrable en $(0,1)$ ; $g(x) = x^2$ que es continua en $(0,1)$ y ambos: $g\circ f(x) = f\circ g(x) =1/x$ que no es integrable en $(0,1)$ .

Por supuesto, estos ejemplos son de integrales de Riemann impropias divergentes, así que tal vez no sea esto lo que estabas buscando...