¿Qué es bueno para un espacio topológico?

Question

Sé que ya hay algunas preguntas similares a esta, que dan una respuesta que un espacio topológico, se crea una estructura en un conjunto que es una abstracción de la distancia y hace posible definir otros conceptos como conectividad, compacidad, metrizability asf. Entiendo que esto en teoría, pero cuando voy a crear un sencillo ejemplo que no alcanzan a comprender lo que la distancia/la cercanía significa en un espacio topológico.

Por ejemplo, cuando tengo el siguiente conjunto de $X$ y un conjunto de subconjuntos $\tau_1$ que no satisface los axiomas de un espacio topológico: $$ X=\{a,b,c\},\tau_1=\{X,\emptyset,\{a,b\},\{b,c\} \} $$

ahora puedo hacer esto en un espacio topológico mediante la adición de los conjuntos de $\{c\}$ $\{b\}$

$$ X=\{a,b,c\}, \tau_2=\{X,\emptyset,\{a,b\},\{c\},\{b,c\},\{b\} \} $$

¿Qué es "mejor" ahora y cómo se relaciona con una cierta noción de la distancia o cercanía?

En otras palabras, ¿qué voy a ganar por la adición de los subconjuntos $\{c\}$$\{b\}$$\tau_2$?

Más sobre lo que puedo hacer con $\tau_2$ I no se puede hacer con $\tau_1$?

Answer 1

Me gusta pensar en espacios topológicos como la definición de "semidecidable propiedades". Me explico.

Imagine que tiene un objeto que creo que pesa alrededor de un kilogramo. Supongamos que, como cuestión de hecho, el objeto pesa menos de un kilo. Entonces me puede, mediante una suficientemente precisa de la escala, determinar que el objeto pesa menos de un kilo. Incluso si el objeto pesa, dicen, 0.9999996 kilogramos, todo lo que necesita hacer es encontrar una escala que se precisa para dentro de, digamos, 0.0000002 kilogramos, y que la escala va a ser capaz de decirme que el objeto pesa menos de un kilo.

Esto significa que "pesa menos de un kilo" es un semidecidable propiedad: si un objeto tiene la propiedad, entonces puedo determinar que tiene la propiedad.

Supongamos, por otro lado, que el objeto que realmente pesa exactamente un kilogramo. No hay manera de que yo pueda medir el objeto y determinar que pesa exactamente un kilogramo, porque no importa la precisión con que se mide, es todavía posible que exista una cierta cantidad de error que no he descubierto todavía. Así que "que pesa exactamente un kilogramo" no es un semidecidable de la propiedad.

¿Qué tiene que ver esto con espacios topológicos? Así, un conjunto abierto en un espacio topológico corresponde a un semidecidable de la propiedad de ese espacio. Esta es la razón por la que en el espacio topológico de los números reales, el conjunto de $\{x : x \in \mathbb{R}, x < 1\}$ es un conjunto abierto, pero el conjunto de $\{x : x \in \mathbb{R}, x = 1\}$ no lo es.

Así, considerar el "espacio topológico" $X = \{a, b, c\}$ con abrir conjuntos de $\emptyset$, $\{a, b\}$, $\{b, c\}$, y $\{a, b, c\}$. En este "espacio topológico", afirma que

• (desde $\{a, b\}$ es abierto) si usted tiene un punto que es $a$ o $b$, entonces es posible medir y determinar que es o $a$ o $b$ (a pesar de que no es necesariamente posible determinar que uno es);
• (desde $\{b, c\}$ es abierto) si usted tiene un punto que es $b$ o $c$, entonces es posible determinar que es o $b$ o $c$; pero
• (desde $\{b\}$ es no abrir) si usted tiene el punto de $b$, es que no es posible determinar que es $b$.

Sin embargo, estas afirmaciones se contradicen unas a otras. Supongamos que usted tiene el punto de $b$. Porque de la primera viñeta, hay algunos de medición usted puede hacer que le dirá que el punto es $a$ o $b$. Y a causa de la segunda viñeta, no es otra medida que puede hacer lo que le dirá que el punto es $b$ o $c$. Si usted simplemente hacer tanto de estas dos medidas, entonces usted tendrá éxito determinó que el punto es ($a$ o $b$, y $b$ o $c$)-en otras palabras, que el punto es $b$. Pero el tercer punto afirma que esto es imposible!

Para una explicación más detallada de esta idea, ver a estos dos respuestas:

• http://math.stackexchange.com/a/31946/13524 (Qiaochu de Yuanes, la respuesta a "¿Qué concepto hace un conjunto abierto axiomatise?")
• http://mathoverflow.net/a/19531/5736 (wiki de la comunidad respuesta a "¿por Qué es una topología compone de 'abierto'?")

Answer 2

Como es habitual en matemáticas, los avances y desarrollos de la teoría de asegurarse de que las definiciones se vuelven cada vez más simple, pero su utilidad no está tan claro.

En primer lugar, la categoría de espacios topológicos se comportan muy bien con respecto a la inducción de estructuras. Por ejemplo, no está claro qué métrica para tomar un producto de la métrica espacios (incluso finito), pero está claro que lo de la topología para tomar.

Más explícitamente, se tiene la siguiente limpio caracterizaciones de topologías:

• Dado espacios topológicos $X,Y$, el producto de la topología en $X \times Y$ es el más pequeño de la topología que hace que las proyecciones continua. (esto también se aplica para los productos infinite)
• Dado un espacio topológico $X$ y un subconjunto $A$, la inducida por la topología en $A$ es el más pequeño de la topología que hace que la inclusión continua.
• Dado un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia $\sim$$X$, el cociente de la topología en $X/\sim$ es el más grande de la topología que hace que la proyección continua.
• La topología inducida por una métrica en $X$ es el más pequeño de la topología que hace que $d$ funciones continuas.
• etc

Y tales caracterizaciones son útiles en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo,

• La topología débil es el más pequeño de la topología de un espacio de Banach para que el dual consiste en continuo mapas.
• El débil-topología en estrella es la más pequeña de la topología en un dual de un espacio de Banach para que los elementos de la norma de la incrustación de la misma en su bidual son todavía continua de los mapas.

Nota, por ejemplo, que no hay manera natural de inducir una métrica en un cociente. De hecho, en muchos de los ejemplos anteriores, una métrica no puede ser inducida por la que daría la topología solicitado.

Usted no debe tratar de entender la topología por medio de la "distancia". Esto es similar a la comprensión de los imanes en términos de bandas de goma. Es un completo nuevo concepto, y debe venir en cuanto a como es. Seguro, analogías están bien a veces, pero que es a su medida. No proporcionar la comprensión profunda (tal vez la comodidad, a pesar de que), y tratando de captar a ellos en todo momento puede ser un obstáculo enorme.

Me temo que no hay mucho que puede hacer que ejemplifican como lo hice anteriormente para demostrar que las topologías son útiles. No obstante, puede ser útil decir que las topologías son continuos los mapas como los grupos homomorphisms (literalmente). Métrica espacios no son el mejor terreno para la continuidad, que no son los naturales de la configuración de ambiente.

Como una nota al margen, un montón de espacios útiles no metrizable. Por ejemplo, el débil y topología débil-topología en estrella no metrizable en general, ni es la función de prueba en un espacio abierto subconjunto del espacio Euclídeo.

Pero incluso si usted está tratando con metrizable espacios, el tratamiento de ellos en términos de espacios topológicos puede ser muy fructífero (debido al hecho de que la inducción de métricas no es un asunto trivial). Por ejemplo, con frecuencia se desea tratar al toro como un cuadrado con lados pegados en una manera apropiada. Esto tiene una muy simple topológica de la descripción, pero no una obvia sistema métrico.

Para citar Bredon en el comienzo de su "Espacios Topológicos" sección:

"A pesar de que la mayoría de los espacios que nos interesan en este libro son de métrica espacios, o puede ser, dada la estructura de métrica espacios, por lo general, sólo se preocupan por la continuidad de las asignaciones y no las métricas de sí mismos. Dado que la continuidad puede ser expresada en términos de bloques abiertos solo, y desde algunas construcciones de espacios de interés para nosotros no es fácil ceder a la construcción de indicadores sobre ellos, es muy útil para descartar la idea de métricas y de abstraer las propiedades básicas de abrir sets necesarios para hablar de la continuidad. Esto nos lleva a la noción de una 'topológica del espacio'."

Answer 3

He aquí una definición alternativa de "espacio topológico".

Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una relación "___ es cerca de ___" entre los puntos y los subconjuntos de a $X$. La relación satisface:

• No hay un punto cerca del conjunto vacío
• Si $P \in A$, $P$ es cerca de $A$
• $P$ es cerca de $A \cup B$ si y sólo si $P$ es cerca de $A$ o $P$ es cerca de $B$
• Si $P$ es cerca de $A$ y cada punto de $A$ es cerca de $B$, $P$ es cerca de $B$

Que es un espacio topológico es un conjunto de puntos junto con una "cercanía" relación que satisface estos axiomas.

A continuación, un conjunto abierto es simplemente un conjunto cuyos puntos no están cerca de su complemento.

Desde un punto de vista, el propósito de espacio topológico es cortar toda la información superflua — hay muchas cosas que pueden ser declarada y probada sólo en estos términos, tales como límites. A veces, esto hace que sea más fácil de estado y de demostrar cosas. Otras veces, nos permite generalizar.

Por ejemplo, considere el extendido de los números reales. Su conjunto subyacente $\bar{\mathbb{R}}$ y se compone de los números reales $\mathbb{R}$ junto con dos puntos extra, que vamos a llamar a $+\infty$$-\infty$.

Una base para la topología de $\bar{\mathbb{R}}$ es de los intervalos de la forma

• $(a,b)$ (finito) real numers $a$ $b$
• $(a, +\infty]$ (finito) de números reales $a$
• $[-\infty, b)$ (finito) de números reales $b$

Te acuerdas de todas las diferentes versiones de "límite" que aprendió en introductorios de cálculo, tales como

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x + 2} = +\infty $$

? Resulta que todos estos son de la misma definición de límite, pero aplicado a la extensión de los números reales, en lugar de la ordinaria de los números reales.

Ahora, se podría lograr lo mismo hablando sólo acerca de la métrica de los espacios, pero se requeriría de la invención de una nueva métrica (por ejemplo,$d(x,y) = |\arctan(x) - \arctan(y)|$, donde se definen $\arctan(\pm \infty) = \pm \pi/2$) y, a continuación, usted tendría que probar cosas acerca de cómo la nueva métrica se refiere a la costumbre de métrica y esas cosas, así que sería complicado y potencialmente confusa.

Espacios topológicos también puede ser aplicado a entornos donde no es claro cómo definir una métrica, o incluso cuando usted no puede incluso aplicar el concepto de espacio métrico.

Un ejemplo importante es utilizado en la geometría algebraica, un aspecto que es sobre el estudio de soluciones de ecuaciones polinómicas. Uno define la topología de Zariski en el avión $\mathbb{R}^2$ a ser la topología generada por una base de abiertos de conjuntos dada por inecuaciones de la forma $f(x,y) \neq 0$ donde $f$ es un polinomio en dos variables.

En la topología de Zariski, el conjunto de puntos $$\{ P \in \mathbb{R}^2 \mid \|P\| \neq 1 \}$$ es un conjunto abierto (de ser el espacio de la solución a $x^2 + y^2 \neq 1$), sin embargo el conjunto de puntos $$\{ P \in \mathbb{R}^2 \mid \|P\| <1 \}$$ no es ni abierto ni cerrado.

La cercanía en la topología de Zariski no tiene nada que ver con la distancia, sino que tiene más que ver con cómo se puede extender conjuntos de soluciones para ecuaciones polinómicas; por ejemplo, el punto de $(2, 0)$ está cerca de la línea de segmento de$(0,0)$$(1,0)$, debido a que cada polinomio que se desvanece en ese segmento de línea (por ejemplo, $y$ o $3y + x^2 y$) también se desvanece en el punto de $(2,0)$.

Answer 4

No hay distancia natural en abstracto, espacio topológico, cuando no es uno es llamar a un espacio métrico.

La cosa acerca de un espacio topológico es que usted puede tomar intersección finita y todavía permanecen en el espacio topológico. Por ejemplo, con $\tau_1$, cuando usted está interesado acerca de $\{b,c\}\cap\{a,b\}$, que no se obtiene un conjunto abierto, lo cual no es práctico. Esto no sucede en un espacio topológico como $\tau_2$.

Básicamente el propósito de espacio topológico es tener ciertas propiedades y teorema, basada en los axiomas de espacio. Si cambia los axiomas, las mismas de siempre propiedades que siempre use no funciona. Así, en orden a preservar lo que ya se ha probado, usted debe trabajar con los derechos de los axiomas.

Siempre se puede hacer su propio espacio con sus propios axiomas, pero usted tendrá que probar su propia teoremas.

Answer 5

Métrica espacios generalizar a la distancia, no espacios topológicos.

Hay espacios que no son de métrica espacios, pero en el que la topología puede ser definido. Por ejemplo, el "long line" $\bf{R}^2$ con la orden de diccionario de topología. o el cociente del espacio de $\bf{Z}^2$x$\bf{R}$ donde los puntos (0,x) y (1,x) son equivalentes si x<0. (1,0) y (0,0) son puntos distintos, pero cualquier intento de poner una métrica en el espacio sería el resultado de estos dos puntos de distancia de 0 un no-no.

Espacios topológicos son generalizaciones de los espacios continuo con los mapas, y hay muchos espacios que no son metrizable. Por ejemplo variedades algebraicas, que las superficies definidas por la intersección de los ceros de los polinomios complejos. Hay superficies que a menudo contienen degeneraciones que impiden una métrica. Esto impediría el campo de la geometría algebraica.

El punto es que si usted tiene un mapa continuo de un espacio a otro espacio, a continuación, propiedades topológicas ( como Hausdorfness, la conectividad, paracompactness, compacidad, etc) son heredados por la imagen.