¿Es "tomar un límite" una función? ¿Es un procedimiento? ¿Una operación ternaria?

Question

Ayer estaba sentado en el análisis y, naturalmente, tomamos el límite de alguna expresión. Se me ocurrió que "tomar el límite" de alguna expresión cumple con las reglas de una transformación lineal $$\lim_{x \rightarrow k}\ c(f(x)+g(x)) = c \lim_{x \rightarrow k} f(x) + c\ \lim_{x \rightarrow k} g(x), y (mi teoría de grupo es prácticamente inexistente) también parece ser un homomorfismo: $$\lim_{x \rightarrow k} (fg)(x) = \lim_{x \rightarrow k} f(x)g(x), etc. .

De todos modos, mi verdadera pregunta es, ¿qué construcción matemática es el límite?

Answer 1

En general, vamos a $X, Y$ ser espacios topológicos, y $x_0$ no aislado punto de $X$. A continuación, estrictamente hablando, "$\lim_{x\to x_0} f(x) = L$" es una relación entre las funciones de $f : X \to Y$ y puntos de $L \in Y$ (la igualdad de notación ser engañosas en general).

Ahora, si $Y$ es un topológico de Hausdorff espacio, lo que ocurre es que esta relación es lo que se conoce como una función parcial: para cualquier $f : X \to Y$, hay más de un $L \in Y$ tal que $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$. Ahora, para cualquier relación $R \subseteq (X \to Y) \times Y$ que es una función parcial, podemos definir una función correspondiente $\{ f \in (X \to Y) \mid \exists y \in Y, (f, y) \in R \} \to Y$ mediante el envío de $f$ satisfacer esta condición a la única $y$ con $(f, y) \in R$. A continuación, la que de alguna manera justifica la "igualdad" en la notación $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$, a pesar de que usted todavía tiene que mantener en mente que se trata de un parcial de función, donde la $\lim_{x\to x_0} f(x)$ no está definida para todos los $f$. (Esta parte se refiere a la respuesta de José Carlos Santos.)

Edificio en la parte superior de esta, en el caso especial de $Y = \mathbb{R}$, se puede poner una estructura de anillo en $X \to Y$ por pointwise además, pointwise multiplicación, etc. A continuación, $\{ f : X \to \mathbb{R} \mid \exists L \in \mathbb{R}, \lim_{x\to x_0} f(x) = L \}$ resulta ser un sub-anillo de $X \to \mathbb{R}$, y la inducida por la función de esta sub-anillo a $\mathbb{R}$ es un anillo homomorphism. (En general, esto va a funcionar si $Y$ es un topológico anillo. Del mismo modo, si $Y$ es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de $f$ con un límite en el $x_0$ es un subespacio lineal de $X \to Y$ y el límite da una transformación lineal; si $Y$ es un grupo topológico, se obtiene un subgrupo de $X \to Y$ y un grupo de homomorphism; y así sucesivamente.)

Answer 2

Deje que $I\subset\mathbb R$ sea un subconjunto de $\mathbb R$ de modo que $k$ sea un punto de acumulación de $I$ . Deje que $$R=\left\{f\colon I\longrightarrow\mathbb R\,\middle|\,\lim_{x\to k}f(x)\text{ exists}\right\}.$$ Then $(R, +, \ times)$ is a ring and the map$$ $$\begin{array}{ccc}R&\longrightarrow&\mathbb R\\f&\mapsto&\lim_{x\to k}f(x)\end{array}$$ es un homomorfismo en anillo.

Answer 3

Para ser más precisos, "toma de $\limsup$ de una secuencia" y "$\liminf$ de una secuencia" son funcionales, es decir, funciones lineales de un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias de su campo subyacente de los números reales. (También se puede considerar que es un funcional de una manera más avanzada, poniendo una topología en el espacio vectorial para que la operación es continua.)

Esta captura sólo la aditividad. Para capturar multiplicativity, es necesario considerar el espacio de secuencias no sólo como un espacio vectorial, sino como un anillo (como antes, usted puede poner una topología en anillo, en cuyo caso resulta natural considerar un espacio de secuencias de satisfacciones suficientes condiciones para convertirse en un álgebra de Banach). A continuación, $\limsup$ e $\liminf$ convertido en anillo homomorphisms de un anillo cuyos elementos son secuencias de los números reales.