Analogía de la identidad de Parseval para la transformada de Legendre ?

Question

La identidad de Parseval establece que la suma de los cuadrados de los coeficientes de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función, o

$$ \sum_{-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = (1/2\pi)\int^\pi_{-\pi} |f(x)|^2 dx $$ donde el $c_i$ son los coeficientes de Fourier.

La transformada de Legendre-Fenchel puede considerarse una generalización de la transformada de Fourier. Para una función dada $f : X \rightarrow R$ sobre un espacio vectorial $X$ que tiene doble $X^{*}$ La transformación $f^* : X^* \rightarrow R$ se define como: $$ f^*(p) = \sup_{x \in X}\ \langle x, p\rangle - f(x) $$ donde además $p = f'(x)$ se denota como $x^*$ . Así que mi pregunta es: ¿Existe alguna generalización natural de la identidad de Parseval para relacionar $f^*$ y $f$ ? Para ser específico, estoy tratando de relacionar cantidades como $\|x-y\|$ a $\|p - q\|$ donde $p = x^*, q = y^*$

Answer 1

Creo que la identidad que quieres es

$$2\inf_x f(x)=\inf_x(f^\ast(x)+f^\ast(-x))\mbox{.}$$

(Me estoy saltando un montón de condiciones requeridas de $f$ para que esto se mantenga. Necesitaremos al menos convexidad).

Utilicemos $\oplus$ para la convolución infima y dejemos que $g(x)=f(-x)$ .

Por definición $(f\oplus g)(x)=\inf_y(f(x-y)+g(y))$ .

La convolución infima nos da $(f\oplus g)^\ast=f^\ast+g^\ast$ .

Así que $$\begin{align} \inf_x(f^\ast(x)+f^\ast(-x)) &=& \inf_x (f^\ast(x)+g^\ast(x))\\ &=& \inf_x (f\oplus g)^\ast(x)\\ &=& \inf_x\inf_y(f(x-y)+f(-y))\\ &=& 2\inf_y f(-y)\\ &=& 2\inf_x f(x)\mbox{.} \end{align} $$

Esa penúltima igualdad se debe a que si $f$ toma un valor mínimo en $-y$ entonces claramente $f(x-y)\ge f(-y)$ para cualquier $x$ por lo que el doble mínimo se alcanza cuando $f(x-y)$ y $f(-y)$ están "alineados" en $x=0$ .

Parece menos simétrico que el teorema de Parseval. Pero si $f$ es real, entonces el teorema de Parseval da $$ \int f(x)^2dx=\int\hat f(\omega)\hat f(-\omega)d\omega $$

Adenda: aquí hay un desglose detallado de la analogía:

Supuse que querías el teorema de Parseval sobre el Fourier transformar no la identidad de Fourier serie . Esto sustituye la suma infinita por una integral.

Según la analogía sustituimos todas las integrales por infimas. Todas las multiplicaciones por sumas. Todas las transformadas de Fourier por transformadas de Legendre. Elevando al cuadrado $x$ es la multiplicación de $x$ por sí mismo, por lo que se convierte en la adición de $x$ a sí mismo resultando en $2x$ . Aplique todas estas sustituciones a

$$ \int f(x)^2dx=\int\hat f(\omega)\hat f(-\omega)d\omega $$

y obtenemos

$$2\inf_x f(x)=\inf_x(f^\ast(x)+f^\ast(-x))\mbox{.}$$

Comparar con La dualidad de Fenchel cuando $A=1$ (en la notación de esa página de la wikipedia).

Answer 2

La identidad de Parseval afirma que la transformada de Fourier es una isometría de $L^2,$ por lo que el análogo correcto parece ser el teorema de dualidad de la programación convexa (que establece que para funciones convexas, y varias condiciones laterales, la conjugación de Fenchel preserva $sup$ norma -- las funciones están en un dominio y el dominio conjugado, pero eso no es tan diferente a la transformada de Fourier). Que esta sea la analogía "correcta" o no está, por supuesto, muy en el ojo del que mira.

Answer 3

¿Por qué no considerar la transformada de Fourier en lugar de la serie de Fourier?

La identidad de Parseval es una consecuencia directa del hecho de que Fourier conmuta los productos ordinarios y de convolución, $\widehat{fg}=\widehat f*\widehat g$ . Elección de $g=\bar f$ tenemos (hasta las constantes universales que se cancelan al final) $$\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^2dx=\widehat{|f|^2}(0)=\widehat f*\widehat{\bar f}(0)=\int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)\widehat{\bar f}(-\xi)d\xi=\int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)\overline{\widehat{f}(\xi)}d\xi=\int_{\mathbb R^n}|\widehat f(\xi)|^2d\xi.$$

La contrapartida de la propiedad de conmutación a nivel de la transformada de Legendre es $(f\oplus g)^\ast=f^\ast+g^\ast$ donde $ \oplus $ denota el infoconvolución : $$f\oplus g(x):=\inf_{y\in\mathbb R^n}(f(y)+g(x-y))$$ Por lo tanto, un análogo de Parseval debe venir de $$\inf_{y\in\mathbb R^n}(f(y)+g(-y))=f^\ast(0)+ g^\ast(0).$$ Pero ahora debemos tomar un $f$ análoga a $\bar f$ en el caso del análisis de Fourier. No veo cuál es la contrapartida de la conjugación compleja.

Answer 4

No soy ni mucho menos un especialista en este campo, pero creo que se pueden encontrar algunas cosas relacionadas en el periódico

Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali El concepto de dualidad en el análisis convexo y la caracterización de la transformada de Legendre . Ann. of Math. (2) 169 (2009), nº 2, 661-674.

En particular, el teorema 14 discute cómo la transformada de Legendre es la "única" transformada que asigna la convolución a la suma para las funciones convexas. Los autores también tienen un artículo similar sobre la transformada clásica de Fourier.