Analogía entre la potencia exterior y el conjunto de potencia.

Question

El álgebra simétrica de un objeto que existe en cada cocomplete $\otimes$-categoría. Para la categoría de conjuntos de $\mathrm{Sym}(X)$ es el conjunto de multi-subconjuntos de $X$.

La definición habitual de la potencia exterior funciona en todos los cocomplete lineal $\otimes$-categoría en la que se $2$ es invertible. Pero, ¿qué acerca de la no-lineales caso? Hay también "exterior poderes" en $\otimes$-categorías que no son lineales? Por supuesto, la definición habitual el uso de la alternancia de los mapas no funciona. Pero, ¿no es llamativo que para el concepto cartesiano de la categoría de conjuntos no es un candidato natural, es decir, el poder establecido? Aquí están algunas analogías (aquí $P(X)$ denota el poder conjunto de $X$ si $X$ es finito; en general es el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$; $P_n(X)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ con $n$ elementos):

• $P(X) = \coprod_n P_n(X)$ e $\Lambda(M) = \oplus_n \Lambda^n(M)$

• $P(X \sqcup Y) = P(X) \times P(Y)$ e $\Lambda(M \oplus N) = \Lambda(M) \otimes \Lambda(N)$

Sigue el "categorified Vandermonde de identidad":

• $P_n(X \sqcup Y) = \coprod_{p+q=n} P_q(X) \times P_q(Y)$ e $\Lambda^n(M \oplus N) = \oplus_{p+q=n} \Lambda^p(M) \otimes \Lambda^q(N)$

• $(P(X),\cup)$ es un conmutativa monoid y $(\Lambda(M),\wedge)$ es graduado-álgebra conmutativa, es decir, conmutativa monoid objeto en el tensor de la categoría de clasificados módulos equipados con con trenzado de simetría

• Si $M$ es gratis con (ordenada) base $X$,, a continuación, $\Lambda(M)$ es libre con base $P(X)$, e $\Lambda^n(M)$ es libre con base $P_n(X)$. En particular, $\dim \Lambda^n(M)=\dim P_n(X)$.

• Si $T$ es un conmutativa monoid, entonces homomorphisms $P(X) \to T$ corresponden a mapas de $f : X \to T$ con $f(x)^2=f(x)$, y si $A$ es graduado-álgebra conmutativa, entonces homomorphisms $\Lambda(M) \to A$ corresponden a homomorphisms de los módulos de $f : M \to A_1$ con $f(x)^2=0$ o más $f(x)f(y)+f(y)f(x)=0$ en el contexto de $\otimes$-categorías (de modo que estas condiciones no son las mismas, pero tanto el uso de $f(x)^2$).

Por lo tanto, me gustaría preguntar: ¿hay una noción de álgebra exterior para ciertos cocomplete $\otimes$-categorías, incluidas las categorías de módulos y la categoría de los conjuntos? En el último caso, podemos obtener el poder establecido?

Answer 1

A un conjunto $X$ asociado el vector libre del espacio de $M(X)$ sobre $X$; por el contrario, para un espacio vectorial $M$ deje $X$ ser el conjunto de índices de una base de $M$. A continuación, la analogía es la forma en que uno hace exteriores de álgebra en términos de una base.

Esto encaja en la manera cómo la teoría de la representación para $GL(n)$ y para el grupo simétrico $S(n)$ están relacionados el uno al otro, ambos con Jóvenes de proyectores en interated tensor de productos de $\mathbb C^n$. Esto es más sorprendente aún si tomamos el directo límite para $n\to \infty$. Ver los libros y papeles por Yuri Neretin (en arXiv).

Edit: Para los módulos de $M$ sobre un álgebra $A$, se podría considerar la correspondiente álgebra de dos números de $A\circledS M$ (es decir, $A\oplus M$ con la multiplicación $(a,m).(a',m') = (a.a', a.m' + m.a')$ y el Kaehler diferenciales sobre esta álgebra. Véase la sección 2.3 de aquí.