Acción del mapa de grado 2 en$\pi_8(S^4)$

Question

Actualmente estoy leyendo Sullivan a la Topología Geométrica: la Localización, la Periodicidad, y Galois de Simetría, en la página 34 Sullivan afirma que el grado de mapa 2 $2:S^4 \to S^4$ induce el mapa de $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\pi_8(S^4) \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2$. No veo la manera de realizar este cálculo. Sullivan atributos de esta contribución a David Frank, me desnatada en algunos de sus papeles y no vi ninguna mención de este cálculo.

Tengo un par de ideas acerca de cómo podría tratar de atacar a este, pero ninguno de ellos parece muy apetecible, pensé que yo podía mirar a la inducida por el mapa en torres de postnikov y ver lo que sucede en cohomology, pero que no parece ser muy fácil trabajar con ellos.

Le agradecería que si alguien tiene un método directo para atacar este tipo de cálculos, o si alguien tuviera una referencia acerca de lo similares que los cálculos se realizan. Estoy esperando en mi biblioteca para recuperar una copia de Toda la "Métodos de Composición..." a ver si esto tiene alguna entrada de este cálculo.

Answer 1

Use el Teorema 8.9 de "Elementos de la teoría de la homotopía" de Whitehead en la página 537. Tome$k=2$,$\beta=\iota_4$ y$\alpha\in\pi_8S^4$. Use$[\iota_4,\iota_4]=\Sigma\nu'-2\nu_4$,$h_0(\nu_4\circ\eta_7)=h_0(\nu_4)\circ\eta_8=\iota_7\circ\eta_8=\eta_8$ y$h_0(\Sigma\nu'\circ\eta_7)=h_0(\Sigma(\nu\circ\eta_6))=0$. El producto triple desaparece y te queda la respuesta de David Frank.

Solo un recordatorio de que$\pi_8S^4=\mathbb{Z}_2\{\Sigma\nu'\circ\nu_7\}\oplus\mathbb{Z}_2\{\nu_4\circ\eta_7\}$. Los invariantes Hopf y los productos de cabeza blanca (y algunas fórmulas para calcularlos) están disponibles en el documento de Oguchi "Generadores de 2 componentes primarios de grupos de esferas, grupos unitarios y grupos simplécticos de homotopía".