¿Por qué los conjuntos de Julia son tan simples? (familia cuadrática)

Question

Quiero saber por qué, cuando miro a los conjuntos de Julia de la cuadrática de la familia, creo que sólo hay un número finito de patrones que se repiten, en lugar de un infinito contable de ellos.

Mi pregunta es, específicamente, acerca de la interacción de estos tres teoremas:

Teorema 1: Vamos a $z_0\in\mathbb{C}$ ser una de repeler el periódico punto de la función de $f_c:z\mapsto z^2+c$. Tan Lei demostrado en la década de los 90 que el lleno en conjunto Julia $K_c$ es asintóticamente $\lambda$-auto-similar acerca de $z_0$ donde $\lambda$ indica el multiplicador de la órbita.

Teorema 2: (a Afirmar preimages son densos) Deje $z\in J_c$, entonces el preimages de $z$ en el conjunto $\cup_{n\in\mathbb{N}} ~ f^{-n}(z)$ es denso en $J_c$

Teorema 3: $J_c$ es el cierre de repeler periódico puntos.

Vamos a ampliar Teorema 1:
Técnicamente, esto significa que los conjuntos de $(\lambda^n \tau_{-z_0} K_c)\cap\mathbb{D}_r$ enfoque (en la métrica de Hausdorff compacto subconjuntos de $\mathbb{C}$) de un conjunto $X \cap \mathbb{D_r}$ donde el límite de modelo de $X \subset \mathbb{C}$ es $\lambda$-auto-similar: $X = \lambda X$.
Prácticamente esto significa que, cuando uno hace un zoom en una computadora genera la $K_c$ sobre $z_0$, la imagen se convierte, para todos los propósitos prácticos, la auto-similar. No hay nueva información es adquirida por el zoom de nuevo acerca de la $z_0$.

Lei demostrado también que las $K_c$ es asintóticamente $\lambda$-auto-similar acerca de la preimages de $z_0$, con el límite mismo modelo de $X$, hasta rotación y reescalado. Esto significa que el zoom en cada punto de la repeler ciclo de $z_0$, proporciona una básicamente el mismo espectáculo, aparte tal vez girado, que hace zoom en $z_0$. No sólo, pero la preimages de $z_0$ son densos en $J_{c}$ (Teorema 2), lo que significa que esta $X$ patrón puede ser visto a través de la Julia.

Ahora, vamos a considerar otro de repeler el periódico punto de $z_1$. Lei nos dice que $K_c$ será asintóticamente auto-similar acerca de $z_1$ y todos sus pre-imágenes, con un a priori diferentes límite establecido $Y$. Desde la pre-imágenes de $z_1$ también son densos en $J_c$ podemos observar que el límite de modelo de $Y$ todo $J_c$.

Así que, a priori, a cada repeler órbita periódica, no debe ser asociado un límite de modelo, y cada uno de estos limitar los modelos pueden ser distintas. Sin embargo, cuando miro a un equipo genera Julia conjunto, las partes de ella que son asintóticamente auto-similar, parecen dirigirse a un finito conjunto de límite modelos (arriba a la rotación).

¿Por qué es así? Tal vez mis ojos no pueden ver la diferencia? O el equipo no puede generar todos los detalles?

O es el caso que el límite de los modelos son finitos?

En esta imagen (se lee como una tira cómica), hago zoom en la vecindad de un punto, cuatro veces, a propósito de "miss el centro", y el zoom en un detalle de cuatro veces más. Los patrones que emergen son muy similares. ¿Son lo mismo?
Este es quizás uno de los más simples a Julia, pero la experiencia es

Answer 1

Conjuntos de Julia son todos muy estrechamente relacionado con la auto-similares - cada uno puede ser pensado como el conjunto invariante de algo así como un iterada de la función del sistema. Específicamente, el conjunto de Julia de $f(z)=z^2 +c$ es el cierre de las fuerzas de periódico puntos de $f$. Por lo tanto, tiene sentido que el conjunto Julia en sí debe ser atractivo en virtud de un proceso inverso a $f$ y hay dos inversos: $$f_{\pm}^{-1}(z) = \pm \sqrt{z-c}.$$

De hecho, $$J = f_{+}^{-1}(J) \cup f_{-1}^{-1}(J)$$ por lo que parece casi auto-similar. Aquí está una gratuita gráfico que ilustra los idus de $c=-1$:

Answer 2

Para ampliar mi comentario y hacer hincapié en la auto-similitud de los conjuntos de Julia y el Dragón de la curva, aquí es una interpolación entre los dos.

Cada fotograma es generado por dos funciones complejas,

f1[z_, t_] := ((1.0 + I) z/2) t + (1 - t) (Sqrt[z + 0.9 I]);
f2[z_, t_] := (1 - (1.0 - I) z/2) t + (1 - t) (-Sqrt[ z + 0.9 I]);

donde $t$ va de $0$ a $1$ en los cuadros de la animación. Para $t=0$, tenemos el clásico Julia fractal $c=-0.9i$, y en $t=1$, tenemos a los dos generadores para el Dragón de la curva.

Entonces, ¿qué acerca de los colores? Deje $J$ atraer conjunto. A continuación, $f_1(C)$ es el negro, y $f_2(C)$ es el conjunto azul, y $C=f_1(C) \cup f_2(C)$. Esto pone énfasis en la auto-similar naturaleza.

Así, tenga en cuenta que en el Dragón de la curva de caso, ya que los $f_1$ e $f_2$ son analíticos y afines, que no distorsionan la imagen, por lo que verás exacto de copias a niveles menores. En la Julia caso, sólo tenemos analítica de los mapas, así que hay algo de distorsión causada por la raíz cuadrada, pero la imagen es más o menos conservados (esta es la naturaleza de la analítica de los mapas).

Answer 3

Como @GNiklasch señala, que parece ser el zoom en dos lugares, que son los dos preimages de la misma repeler periódico punto. De manera que las imágenes de la Julia conjunto local y relacionados por un mapa de conformación, y por lo tanto, de hecho, asintóticamente la misma.

Si te acercas a diferentes repeler periódico puntos, por lo general, estos tienen diferentes multiplicadores. Por ejemplo, si usted mira en el periódico puntos de distancia desde el eje real en tu ejemplo, sería de esperar complejo multiplicadores, y por lo tanto la espiral de las conductas en pequeñas escalas.

Mira esta imagen:

Hay un periódico punto dentro del "conejo" partes, donde hay un montón de espiral. También hay un punto fijo de la conexión de la gran conejo en el medio con el que se encuentra a su izquierda. (Para los que saben lo que esto significa, el último es el $\alpha$ punto fijo del polinomio, mientras que el primero es el $\alpha$ punto fijo de su renormalisation.) Por último, hay otro punto fijo de más a la derecha de la imagen.

El conjunto Julia se ve diferente cerca de cada uno de estos.

EDIT. Usted puede obtener un aún más claro ejemplo considerando infinitamente renormalisable polinomios cuadráticos. Considere el siguiente procedimiento para seleccionar un parámetro. Comienza en c=0, el centro de los principales cardioide. A continuación, mueva al centro del período 2 de la bombilla a la izquierda de la cardioide (c=-1, la "basílica"). Esto crea un periódico punto en el que dos dinámico de los rayos de la tierra, y que por lo tanto se separa el conjunto Julia en (exactamente) de dos componentes.

Ahora se mueven a través de un período de 3 bifurcación de este componente, la creación de un periódico punto de período de 6 teniendo tres rayos de aterrizar en él. (Este es el componente que contiene la "danza de los conejos" que se muestra arriba). Continuar, con un período de 4 bifurcación, periodo 5, etc.

En el límite, se puede obtener un polinomio cuadrático tener infinidad de periódicos puntos en los que el conjunto de Julia es incluso topológicamente muy diferente, en el que se separan el conjunto Julia en diferentes componentes.

(Para obtener más detalles, en este tipo de construcción, consulte a Milnor de la conectividad Local de conjuntos de Julia: expositivo conferencias, Sección 3.)

He de remarcar que, para un polinomio cuadrático, los únicos puntos que puede tener más de dos rayos de aterrizaje, y, por tanto, separar el conjunto Julia en más de dos piezas, son preimages de repeler periódico puntos. Cada uno de estos está asociado a algunos de los pequeños copia del conjunto de Mandelbrot. Por lo tanto sólo se puede obtener el tipo anterior de ejemplo por tener un número infinito de renormalisations.

EDICIÓN 2. Como a mi punto original no parece haber llegado a través de algunos, aquí están algunas fotos. Para $$ c = 0.340095913765605+0.076587412582221i,$$ en la principal cardioide, obtenemos el siguiente conjunto de Julia.

Aquí está la ampliación del límite cerca de la $\beta$-fixedpoint, $$ z_0 = 0.618645316268697-0.322757842411465i:$$

Aquí está la ampliación del límite cerca de un período de 9 periódica punto, $$ z_1 = 0.177144137748545 + 0.032520156063447i.$$

Se puede ver que los límites de escala son muy diferentes. (Imágenes producidas por el uso de la "Winfeed" fractal programa por Richard Parris, la versión de 2012.)

Answer 4

Dado que he empezado a hacer fotos, pensé que valdría la pena agregar otra, más corta, respuesta directa a su pregunta, además a mi no, más detallada.

Pregunta 1. Son los límites en las imágenes de la misma (hasta un lineal mapa)?

Respuesta. Sí. Los únicos puntos en su "doble basílica de imagen" en el que dos delimitada Fatou los componentes (en el interior de las regiones de llenado de Julia) cumplir son preimages de la misma periódico punto. (Esta es la $\alpha$-punto fijo de la primera renormalisation.) Por lo tanto el conjunto Julia, cerca de los dos puntos está relacionado con un mapa de conformación, y los dos límites de escala son la misma, hasta una transformación lineal.

Pregunta 2. Hay sólo un número finito de límites de escala? Respuesta. No. Pero usted debe centrarse en los diferentes periódicos de los puntos a observar. En otras palabras, la primera revisión de su periódico punto, a continuación, hacer zoom.

No dé el parámetro preciso para su ejemplo, pero aquí están los límites de escala para el parámetro $c=-1.3$. Completo conjunto Julia:

Límites de escala en los tres reales periódico puntos $x_1=-0.744989959798873$, $x_2=0.241619848709566$ y $x_3=1.131900530695346$ ($\alpha$ punto fijo, $\alpha$ punto fijo de la primera renormalisation, y $\beta$ punto fijo, respectivamente):

Por último, la escala de límite de cerca el período de 3 puntos $1.131900530695346 + 0.227896812185643i$. Doy tres sucesivas zoom (cada uno más fino por un factor de 10), para enfatizar la espiral de la estructura debido a la no-multiplicador real. El periódico punto se encuentra en el centro de cada imagen.

Se puede ver claramente que los límites de escala son diferentes. Usted puede escoger más periódicos puntos y obtener más límites de escala.

Answer 5

Cuando se considera infinitamente renormalizable polinomio, se puede ver una infinidad de imagen completamente diferente. Existe, por ejemplo, $c$ de manera tal que usted puede encontrar periódico puntos de $x_n$ tal que $K_c\setminus \{x_n\}$ tiene exactamente $n$ componentes.

Tal infinitamente renormalizable $c$ es en un infinito nido de bebé conjuntos de Mandelbrot. Cuando usted elige el bebé conjunto de Mandelbrot de profundidad $n+1$ en la $1/n$-de las extremidades del bebé conjunto de Mandelbrot de profundidad $n$, la llamada " $\alpha$- punto fijo $x_n$ de la $n$-th renormalization ha rotación de número de $1/n$, lo $K_c \setminus \{x_n\}$ ha $n$ componentes.