Desde la perspectiva de las categorías de bordismo, ¿de dónde viene la estructura del anillo en los espectros de Thom?

Question

Para fijar ideas, consideremos la Thom espectro de cuadros de bordism $M$, el espectro cuyo homotopy grupos son los enmarcados bordism grupos. $M$ tiene un anillo espectro de la estructura de la inducción de los productos de colectores en su homotopy grupos. Por Pontryagin-Thom, $M$ es la esfera del espectro de $S$, que es la inicial del anillo de espectro.

Este hecho, en cierto sentido, ascensores para el cobordism hipótesis de la siguiente manera. Una versión adecuada de la cobordism hipótesis debe afirmar que la enmarcado bordism $\infty$categoría $\text{Bord}^{fr}$ es gratis $E_{\infty}$ $\infty$-categoría de dobles en un punto. Después de invertir todos los morfismos en $\text{Bord}^{fr}$ adecuadamente, se obtiene un $E_{\infty}$ $\infty$-groupoid, o esencialmente un bucle infinito espacio, que debe ser el espacio subyacente de la Thom espectro de $M$.

Esto me dice lo $M$ se ve como un espectro. Pero el más categórico de la historia, hasta donde sé, no me digas lo $M$ se ve como un anillo de espectro; no veo cómo poner una apariencia familiar de la estructura en $\text{Bord}^{fr}$ inducción de el anillo del espectro de la estructura en $M$.

Hay una estructura de este tipo?

Answer 1

Gracias a una muy útil discusión con Clark Barwick en el homotopy teoría de chat, creo que ahora entiendo lo que está pasando aquí. En particular, el anillo del espectro de la estructura en la esfera del espectro de $\mathbb{S}$ no provienen de una estructura monoidal en $\text{Bord}$, pero yo estaba confundido acerca de cómo el transporte de esta estructura monoidal de la categoría para el espectro.

La estructura monoidal puede ser pensado como la que proviene de la característica universal de $\text{Bord}$: ya que es la libre monoidal simétrica $\infty$-categoría de dobles en un punto, el $\infty$-categoría monoidal simétrica functors $\text{Bord} \to \text{Bord}$ puede canónicamente ser identificado con $\text{Bord}$ sí, y, por tanto, $\text{Bord}$ natural adquiere una estructura monoidal, que voy a llamar a $\circ$, que viene de la composición de functors $\text{Bord} \to \text{Bord}$. Esto es exactamente análoga a cómo el libre grupo abelian $\mathbb{Z}$ sobre un punto canónicamente adquiere una estructura de anillo, y compatible en el grupo de finalización de la manera en que el espectro libre en un punto, es decir,$\mathbb{S}$, canónicamente adquiere un anillo espectro de la estructura. Aquí necesitamos saber que monoidal simétrica $\infty$-categorías se enriqueció a lo largo de sí mismos, pero esto debe ser cierto, por analogía, tanto con el caso de abelian de los grupos y con el caso de los espectros.

Esta es sin duda una indirecta descripción. Es difícil intentar una más directa descripción porque el resultado monoidal estructura no es tan interesante sobre los objetos, y tratando de describir lo que hace en morfismos es lo que nos metió en este lío en primer lugar.

Así que permítanme continuar. En los comentarios me explicó que me pareció una estructura monoidal

$$\text{Bord} \times \text{Bord} \to \text{Bord}$$

no podía inducir a la usual de la multiplicación mapa en $\mathbb{S}$ porque monoidal estructuras de tomar una $n$-morfismos y un $n$-morfismos y devolver otro $n$-morfismos: por ejemplo, la inconexión de la unión proporciona una estructura monoidal de este formulario (en realidad es la estructura monoidal pensando en el universal de la propiedad), y la inducida por el mapa

$$\pi_n(\mathbb{S}) \times \pi_n(\mathbb{S}) \to \pi_n(\mathbb{S})$$

es la costumbre abelian estructura de grupo en la $\pi_n(\mathbb{S})$.

El problema con esta historia tal como se aplica a $\circ$ es que, con la natural monoidal simétrica estructuras en ambos lados, $\circ : \text{Bord} \times \text{Bord} \to \text{Bord}$ es no simétrica monoidal functor, por lo que no inducir a un mapa de $\mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ de los espectros. Este problema aparece ya en el nivel de abelian grupos: con la natural abelian grupo de estructuras en ambos lados, la multiplicación de mapa de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ no es un homomorphism de abelian grupos.

Como sugiere la analogía con abelian grupos, $\circ$ es "bilineal": conserva distintos sindicatos por separado en ambas variables. Por lo que la solución es el uso de un adecuado concepto de "producto tensor" de monoidal simétrica $\infty$-categorías (adecuado significado, en particular, que en monoidal simétrica $\infty$-groupoids, el pensamiento de conectivos espectros, se reproduce el smash producto) y creo que de $\circ$ ya que en lugar de proporcionar un monoidal simétrica functor

$$\text{Bord} \otimes \text{Bord} \to \text{Bord}$$

la que se reproduce la costumbre anillo espectro estructura $\mathbb{S} \otimes \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ (aquí estoy usando $\otimes$ para el smash producto así). Ahora a ver cómo conseguimos una multiplicación mapa

$$\pi_n(\mathbb{S}) \times \pi_m(\mathbb{S}) \to \pi_{n+m}(\mathbb{S})$$

basta recordar que el smash producto de $S^n$ e $S^m$ es $S^{n+m}$.

Así, una manera de responder a la pregunta conceptual "¿cómo, en esta situación, ¿empezamos con un $n$-morfismos y un $m$-morfismos y obtener un $n+m$-morfismos" es que la característica universal de $\text{Bord}$ es extremadamente general: es una forma natural de actos por endomorphisms en un objeto en cualquier monoidal simétrica $\infty$-categoría con duales de ningún tipo, incluyendo los de "bucle espacios" de $\text{Bord}$ sí! El análogo de la declaración de la estabilidad de homotopy es que la estable homotopy grupos naturalmente de dar lugar a operaciones en el homotopy grupos de cualquier espectro de ningún tipo, incluyendo los cambios de la esfera del espectro de sí mismo.