¿Hay categorías cuyo hom interno es algo 'exótico'?

Question

El interno hom (o exponencial objeto) es, básicamente, una reificación de lo "externo" hom. Se puede definir en cualquier cartesiano (o incluso monoidal, más sobre esto más adelante) categoría como el derecho medico adjunto de la (monoidal) del producto.

Mi pregunta es: ¿hay algunas categorías de internos cuyos hom se comporta de forma bastante inesperada? O incluso algunos interesantes ejemplos en los que la internalización realmente se deforma el exterior hom en una no-forma trivial.

La pregunta que surge a partir de la observaton que el 'exterior' los hom puede ser asumida como un conjunto (asumir la categoría a nivel local pequeño, o de la onda de la mano lo suficientemente duro), y por lo tanto es ya algo cosificado. Esperamos que algunos 'estructura' en él, a saber, elementos y tal vez incluso subobjetos. En una lo suficientemente ricos categoría (por ejemplo, un topos), esta estructura es internalizable así. Por lo que podría darse el caso de que algún país exótico comportamiento emerge, o algunos colapso ocurre.

Espero que esto sucede principalmente por la no-Cartesiana monoidal cerrado categoría, porque el monoidal producto puede ser bastante complicado.

Por otra parte, en el artículo 3 de la interna hom página de la nLab parece demostrar la interna hom comparte algunas fuertes propiedades de la 'externo' hom, lo que podría insinuar el hecho de que son realmente 'el mismo'.

Answer 1

Normalmente, el interno de homs $\newcommand{\C}{\textbf{C}}\C$ tendrá un aspecto diferente de externos homs sólo cuando "elementos/puntos de $X$" (para los objetos de $X \in \C$) son diferentes de los "mapas de $I \to X$" (donde $I$ es el monoidal unidad); o ligeramente más precisamente, cuando $\C$ viene con un canónica olvidadizo functor $\newcommand{\Set}{\textbf{Set}} U : \C \to \Set$, que es diferente de lo representable $\C(I,-)$.

Esto es debido a que, como se señaló en la Jakob Werner respuesta) mapas de $I \to [X,Y]$ corresponden a (externo) mapas de $X \to Y$, de manera que si queremos "los puntos del interior hom" a ser diferentes a partir externa flechas, que implica que "los puntos de la interna hom" debe ser diferente de "mapas de $I$ a los hom interno".

Esta idea sugiere varios ejemplos:

• $G\text{-}\Set$, para un grupo de $G$ (como en Jakob de la respuesta). Aquí el monoidal unidad es el terminal objeto de $1$, y los mapas de $1 \to X$ no corresponden a puntos arbitrarios de $X$ pero sólo para fixpoints de la $G$-acción. Así que el externo mapas de $X \to Y$ (es decir, $G$-equivariant mapas) corresponden a fixpoints en la $G$-set $[X,Y]$; puntos arbitrarios de $[X,Y]$ corresponden a los no-necesariamente-equivariant funciones de $X \to Y$.

• La categoría de clasificados Abelian grupos $\newcommand{\Ab}{\mathrm{Ab}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \Ab^\Z$, con el graduado de producto tensor $(X \otimes Y)_n = \coprod_{i+j=n} X_i \otimes Y_j$. (O graduada módulos sobre un anillo, o $\mathbf{N}$-clasificados, etc.) En este caso, el monoidal unidad es $\Z$ en el grado 0 y trivial en otros grados, y los mapas de $I \to X$ corresponden a elementos de $X_0$. Por lo que los mapas de $X \to Y$ corresponden a elementos de $[X,Y]_0$, y los elementos de la $[X,Y]$ en otros grados se corresponden con el grado de desplazamiento de mapas entre los $X$ e $Y$.

• Categorías de los complejos de la cadena, $\newcommand{\Ch}{\mathrm{Ch}}\Ch(\Ab)$. En su mayoría, como en el caso anterior, pero ahora los mapas de $I \to X$ corresponden sólo a los ciclos en $X_0$, por lo que los mapas de $X \to Y$ corresponde a grado 0 ciclos en $[X,Y]$, mientras arbitraria de elementos de $[X,Y]_n$ corresponden a mapas de $X \to Y$ cambio de grado por $n$ y no necesariamente respetando el límite del operador.

Incluso si estos no son tan exóticos como usted esperaba, esperemos que el principio general de "buscar por categorías, donde los mapas de la monoidal unidad no corresponden a 'elementos/puntos " de los objetos" puede ayudar a encontrar más exóticos ejemplos.

Answer 2

$\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}\newcommand{\Set}{\mathrm{Set}}\newcommand{\hom}{\mathrm{hom}}$En este ejemplo no puede decirse realmente que el interior de la Casa es "exótico", pero al menos es moralmente diferente de la externa Hom.

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $\Set(G)$ ser la categoría de conjuntos con un $G$-acción. Morfismos de esta categoría son las asignaciones de los conjuntos que conmuta con la acción. Esta categoría ha finito productos, dada por los productos de la base de conjuntos. De hecho, es cartesiana cerrada: La interna Hom $\hom(X,Y)$ es el conjunto de todas las asignaciones $X \to Y$, con la $G$-acción dado por la conjugación: $$\sigma \cdot f := X \xrightarrow{\cdot \sigma^{-1}} X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{\cdot \sigma} Y. $$

Nota sin embargo que en un monoidally cerrado de la categoría, el externo Hom siempre se puede recupere de los Hom interno como el conjunto de sus elementos globales: $$ \Hom(X,Y) \cong \Gamma(\hom(X,Y)) := \Hom( I, \hom(X,Y)).$$ Aquí, $I$ es el objeto de la unidad de la categoría monoidal.

En el ejemplo anterior, los elementos globales de algunos $G$-set $Z$ son morfismos desde el punto de $G$-establecer $Z$. Estos corresponden precisamente a los puntos fijos de $Z$ bajo $G$-acción: $\Gamma(Z) = Z^G$. En particular, los elementos globales de la interna Hom son asignaciones de invariantes bajo la conjugación – es decir, morfismos de $G$-conjuntos.

Answer 3

Para agregar a las otras buenas respuestas aquí, hay una familia de ejemplos que podría ser visto como un poco trivial. Pero en un sentido que dar la respuesta más sencilla a tu pregunta.

Deje $X$ ser un conjunto parcialmente ordenado, considerada como una categoría de la forma habitual: los objetos de la categoría son los elementos de $X$, e $\textrm{Hom}(x, y)$ ha $1$ o $0$ elementos de acuerdo a si $x \leq y$ o no. Si $X$ es un conocer-semilattice, es decir, cualquier conjunto finito de elementos tiene un mayor límite inferior, a continuación, la categoría correspondiente ha finito de productos. Es cartesiana cerrada si para cualesquiera dos elementos de la $y$ e $z$ hay un elemento $y \to z$ con la propiedad de que para todos los $x \in X$, $$ x \wedge y \leq z \iff x \leq y \z. $$ Aquí $\wedge$ denota mayor límite inferior. Por lo $y \to z$ es el interior de la hom $z^y$. Un poset con esta propiedad es más o menos lo que se llama un álgebra de Heyting.

Creo que esto es una gran familia de ejemplos, porque en un poset, el interventor de homs son bastante triviales (los conjuntos con más de un elemento), mientras que la interna homs puede ser informativo. Por ejemplo, en un juego de poder que te dan la noción de complemento (ejercicio!).

Puede ampliar esta familia un poco. De nuevo tomar un conjunto ordenado $X$, considerado como una categoría de la forma habitual. Pero ahora piensa acerca de la no-cartesiana monoidal estructuras. Por ejemplo, $X = \mathbb{R}$ con su habitual realizar el pedido. El concepto cartesiano de monoidal estructura es $\mathrm{min}$, pero en su lugar, podríamos usar $+$. Entonces el hom interno está dado por $$ y \z = z - y. $$ Es que "inesperado"? Eso depende de tu intuición. Pero en este ejemplo el exterior hom solo indica el signo de $z - y$, mientras que la interna hom le dice a su valor real. En otras palabras, se produce la operación de la resta, que históricamente ha demostrado ser bastante importante.

Answer 4

Aquí hay algo un poco diferente de los ejemplos. Por supuesto, como menciona Pedro Lumsdaine, el truco es siempre el mismo: analizar las categorías donde $Hom(I,X)$ se ve muy diferente de la "subyacente a los conjuntos de $X$"

Considerar la categoría cuyos objetos son conjuntos, y cuyos morfismos son las relaciones, es decir, subconjuntos de $X \times Y$ (con la habitual composición de relación).

Tiene una estructura monoidal dada por el producto de conjuntos. La exponencial de esta estructura monoidal es simplemente el producto, de hecho,

Una relación de $X$ a $Y \times Z$ es el mismo como una relación de $X \times Z$ a $Y$.

Otros ejemplos similares son:

• El 2-categoría de conjuntos y de los tramos de conjuntos (con los productos de conjuntos como monoidal estructura).

• La categoría de los pequeños categorías y profunctors, con los productos de las categorías, como estructura monoidal, aquí la exponencial $[X,Y]$ está dado por $Y \times X^{op}$

• La categoría de polinomio functors (que en realidad es cartesiana cerrada) se describe en El cartesiana cerrada bicategory generalizada de especies y estructuras por Fiore, Gambino, Hyland y Winskel. Donde la exponencial es un poco más complicado, pero todavía tiene el mismo sabor.

Pero uno de alguna manera puede "explicar el truco" de mar: Una manera de pensar acerca de este ejemplo es que estas categorías son equivalentes a las categorías donde el Hom objetos corresponde naturalmente a una estructura natural en el conjunto de morfismos, pero la equivalencia de las categorías de alguna manera hace que la "base" muy diferentes.

Por ejemplo, la categoría de los conjuntos y la relación puede ser visto como la categoría de "Libre suplattices":

Un suplattice es un conjunto ordenado con todos los supremums, y suplattice morfismos son el fin de preservar el mapa, la preservación de la supremums. Dadas dos suplattices $X$ e $Y$ el conjunto de morfismos de $X$ e $Y$ es, naturalmente, un suplattice para la pointwise de los pedidos (inducir por la orden de $Y$), y esto corresponde a un monoidal simétrica cerrada estructura en la categoría de suplattice. Así que esto es realmente un "no-ejemplo" de lo que se le pide: el hom objetos son realmente exactamente el conjunto de morfismos con una estructura natural inducida en ellos.

Ahora el olvidadizo functor de suplattice las series que ha dejado adjunto, el envío de cualquier conjunto a la suplattice $P(X)$ de los subconjuntos de $X$, sublattice morfismos de $P(X)$ a $P(Y)$ coinciden con la relación de $X$ e $Y$, y la estructura monoidal descrito anteriormente es inducida a partir de la una en suplattices...

Para nuestro ejemplo convertirá en un no-ejemplo de hasta una equivalencia de categorías. Descripciones similares pueden ser obtenidos para el resto de los ejemplos que he mencionado.

Answer 5

Esta respuesta se describe otra forma en la cual exóticas (engordados hasta internas de homs puede surgir, similar en espíritu a los anteriores, pero diferentes.

En un monoidal cerrado categoría canónica mapa $$j:C(X,Y) \to C(I,[X,Y])$$ es invertible, lo cual nos indica que los `elementos" de la interna hom son sólo morfismos $X \to Y$.

Invertibility de la canónica mapa de $j$ corresponde a invertibility de la izquierda de la unidad de mapa $l:I \otimes X \to X$.

En un sesgo categoría monoidal la izquierda de la unidad de mapa, entre otros, no es necesario que sea invertible -- se sigue que, en un circuito cerrado de sesgar categoría monoidal el interior hom $[X,Y]$ debe `contener" a todos los morfismos $X \to Y$ , pero puede contener otras cosas también, por ejemplo, los débiles mapas.

Hay, por ejemplo, una cerrada sesgar estructura monoidal en la categoría de $SMonCat_s$ de monoidal simétrica categorías y estricto monoidal simétrica functors en el que el hom $[X,Y]$ consiste en la no estricta monoidal simétrica functors (los que la preservación de la estructura coherente de isomorfismo).

Ver https://arxiv.org/abs/1510.01467 para más información sobre esta idea.