Como otros han señalado, lo que usted describe es un iterada de la función del sistema — específicamente, un sistema de afín a la contracción de los mapas — que es una forma común de la construcción de la auto-similar fractales. En particular, puede ser escrito como un sistema que consta de los siguientes cinco mapas:
\begin{aligned}
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(0,1)\\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(0,-1) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(1,0) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(-1,0) \\
\end{aligned}
donde me he tomado el centro de la plaza para estar en el origen, y sus esquinas a ser a $(\pm 1, \pm 1)$.
Escrito como este, de hecho, puede usted ver que cada uno de estos mapas se representa tomando el promedio de la actual punto de $(x,y)$ y algunos fijos punto de destino. El primer mapa (donde el punto de destino es simplemente el origen) surge cuando las dos esquinas que usted elija en el paso 2 son opuestos, y es por lo tanto el doble de probabilidades de ser elegido en su estudio aleatorizado de iteración como los otros cuatro mapas, cada uno de los cuales los resultados de picking en dos esquinas que son adyacentes el uno al otro.
La primera, la pregunta obvia es, entonces, lo que el conjunto fijo de su iterada de la función de sistema (es decir, la única no-vacío compacto $S \subset \mathbb R^2$ tales que la aplicación de cada uno de sus afín mapas a $S$ y tomando la unión de los resultados de los rendimientos de la misma set$S$). Este conjunto fijo es el cierre del límite establecido obtenidos por infinitamente iteración de la función del sistema desde cualquier punto de partida, y por lo tanto, en cierto sentido, representa "el" límite de la forma obtenida por la iteración de su sistema.
Por desgracia, para el sistema, la respuesta es aburrido: el conjunto fijo es simplemente un (inclinado) el cuadrado con las esquinas en la parte superior, a la derecha, la izquierda y la parte inferior de la plaza exterior (es decir, a $(0,\pm1)$ $(\pm1,0)$ en la parametrización de la que he usado anteriormente).
La manera fácil de ver que es observar que los últimos cuatro mapas en el mapa del sistema de esta plaza en cuatro cuadrados más pequeños que, precisamente, el azulejo de la original de la plaza (y el primer mapa que sólo produce un cuadrado que forma redundante se superpone con las otras cuatro). Otro, más rigurosa es mostrar que cualquier punto dentro de esta plaza (y sólo dentro de esta plaza!) puede ser abordado de manera arbitraria cerca de cualquier punto de partida por la iteración de los mapas dado anteriormente en un orden adecuado.
Para esto, se ayuda a rotar, escalar y traducir las coordenadas para que el fijo de la plaza (con esquinas en$(0,\pm1)$$(\pm1,0)$) se asigna a la unidad de la plaza (con esquinas en $x,y \in \{0,1\}$). Con esta transformación de coordenadas, los mapas dado anterior se convierte en:
\begin{aligned}
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(\tfrac12, \tfrac12)\\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(0,0)\\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(0,1) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(1,0) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac12 (x,y) + \tfrac12(1,1) \\
\end{aligned}
Podemos entonces interpretar los últimos cuatro mapas como un cambio en la representación binaria de las coordenadas $x$ $y$ a la derecha por un lugar, y el establecimiento de los primeros dígitos binarios después de la radix punto a una de las cuatro combinaciones posibles. Por lo tanto, a partir del origen (que podemos enfoque arbitrariamente cerca de cualquier punto de partida sólo por iteración en el segundo mapa de arriba), podemos llegar a cualquier punto con diádica racional coordenadas — es decir, las coordenadas cuya representación binaria termina — dentro de la unidad cuadrada con un número finito de pasos. Desde el diádica racionales son densos en la plaza de la unidad, de cualquier punto dentro de la plaza puede ser abordado de manera arbitraria estrechamente en este camino.
(Para la integridad, debemos también mostrar que ningún punto fuera de la unidad de la plaza puede ser un límite de la iteración de estos mapas. Una manera sencilla de hacerlo es mostrar que si el punto de $(x,y)$ se encuentra fuera de la unidad de square — es decir, de $x$ $y$ es negativo o mayor que $1$ — a continuación, la aplicación de cualquiera de estos mapas se mueve más cerca de la unidad de la plaza.)
Por lo tanto, si el límite de la iteración de su sistema es simplemente un cuadrado, ¿por qué estás viendo todas las que interesante fractal-en busca de la estructura, entonces?
La razón por la que es redundante primer mapa (el que acaba de tira de cada punto más cercano a la centro de la plaza), que hace que algunos puntos de la plaza para ser más propensos que otros a ocurrir durante la iteración. Por lo tanto, el invariante de la medida de su iterada de la función del sistema no será el uniforme de medida a lo largo de la plaza (como se obtendría si se quita el primer mapa del sistema). Más bien, se termina buscando como este (girado 45°, como en mi transformado sistema anterior):
$\hspace{64px}$![Invariant measure]()
La imagen de arriba es una discretizado aproximación de la medida invariante, con la oscuridad de cada píxel de ser proporcional a la probabilidad de que el azar iterada punto de aterrizaje en ese píxel. Obtuve esta imagen simplemente iniciando con el uniforme de la medida en la unidad de la plaza, y en varias ocasiones la suma de escala y copias traducidas de la misma. Específicamente, he utilizado el siguiente código en Python para hacer esto:
import numpy as np
import scipy.ndimage
import scipy.misc
d = 9 # log2(image size)
s = 2**d / 4 # number of pixels to shift first map by
a = np.ones((2**d, 2**d))
# iteration should converge in about d steps; run for 2*d to make sure
for i in range(2*d):
b = scipy.ndimage.zoom(a, 0.5, order=1) * (4/6.0)
a = np.tile(b, (2, 2)) # last four maps just tile the square
a[s:3*s, s:3*s] += 2*b # add first map (twice, since it has higher weight)
scipy.misc.imsave('measure.png', -a) # negate to invert colors
Por supuesto, tenga en cuenta que esto es sólo una aproximación real de la invariante de la medida, que parecen ser singular.
(Si alguien puede caracterizar a esta medida de forma más explícita, me gustaría mucho que ver; la aproximación numérica es sugerente, pero en realidad no dicen mucho acerca de lo que realmente sucede en el límite.)
Por CIERTO, existen reales fractales que se asemejan a su iterada de la función del sistema. Por ejemplo, el siguiente sistema:
\begin{aligned}
(x,y) &\mapsto \tfrac13 (x,y) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac13 (x,y) + \tfrac23(0,1)\\
(x,y) &\mapsto \tfrac13 (x,y) + \tfrac23(0,-1) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac13 (x,y) + \tfrac23(1,0) \\
(x,y) &\mapsto \tfrac13 (x,y) + \tfrac23(-1,0) \\
\end{aligned}
lo que difiere de su original sistema, simplemente por el peso de los fijos puntos de esquina por dos veces como mucho en el medio, genera la Vicsek fractal como su conjunto fijo (de nuevo, se muestra girado 45° abajo):
$\hspace{200px}$![Vicsek fractal]()
El Sierpiński que llena el espacio de la curva también tiene cierto parecido a su sistema: también tiene toda la plaza como su límite, pero en las etapas intermedias de la construcción muestran una similar fractal-como la estructura.
