¿Por qué es importante la conjetura del volumen?

Question

El conjetura de volumen una fórmula que relaciona el volumen hiperbólico de un complemento de nudo con el límite semiclásico de una familia de polinomios de Jones coloreados, está ampliamente considerada como el mayor problema abierto en topología cuántica. Forma parte de una gran familia de conjeturas y programas de investigación que tienen que ver con la detección de la geometría clásica con límites semiclásicos.
Por muy vergonzoso que sea decirlo en público, sólo entiendo en parte por qué la gente se preocupa tanto por esas conjeturas.

¿Qué fantásticas consecuencias tendría para la topología de baja dimensión si la conjetura del volumen se demostrara mañana? ¿Y si se demostraran también todas las conjeturas relacionadas? ¿Cómo mejoraría nuestra comprensión de la topología clásica? En términos más generales, ¿cómo haría avanzar las matemáticas?

Answer 1

No conozco ninguna consecuencia para la topología de baja dimensión. Mi impresión es que indicaría lo poderosas que son las invariantes de la TQFT para distinguir los 3 manifolds o los nudos. Por ejemplo, la conjetura del volumen (o quizá las variantes de los Murakami) implicaría que los polinomios de Jones coloreados distinguen los nudos de los no nudos. Este corolario también lo afirma Jorgen Andersen. Sólo hay un número finito de nudos hiperbólicos de un volumen determinado, por lo que la conjetura del volumen implicaría que los polinomios de Jones coloreados están cerca de distinguir los nudos hiperbólicos.

Answer 2

Otro tendrá que discutir las aplicaciones en topología, pero puedo señalar al menos una razón por la que la conjetura del volumen es interesante.

A menudo se dice que nadie sabe cómo definir la integral funcional de la teoría de Chern-Simons. Esto no es literalmente cierto. La construcción de Reshetikhin-Turaev puede interpretarse -- tautológicamente -- como la definición de una medida de volumen en un determinado espacio de funcionales. (Esto es como en la mecánica cuántica, donde se interpreta el núcleo $\langle q_i|e^{-Ht}|q_f\rangle$ como el volumen del espacio de trayectorias $\phi: [0,t] \to \mathbb{R}$ que comienzan en $q_i$ y terminan en $q_f$ .) Lo que no sabemos hacer es definir la medida de la integral de trayectoria como un límite continuo de integrales regularizadas que se parecen a $\frac{1}{Z}e^{iCS(A)}dA$ .

La conjetura del volumen (en particular la versión en la que el logaritmo del polinomio de Jones se parece a vol(3-manifold) más i veces el funcional de Chern-Simons) nos dice que la medida tautológica que se obtiene de Reshetikhin-Turaev tiene realmente algo que ver con la acción de Chern-Simons.