¿Alguna contribución real del análisis funcional a la teoría cuántica como una rama de la física?

Question

En el último párrafo de este último papel de Klaas Landsman, se puede leer:

Por último, permítanme señalar que este fue un ganador (o "whig") de la historia, lleno de culto del héroe: siguiendo los pasos de Hilbert, von Neumann estableció el vínculo entre la teoría cuántica y el análisis funcional que ha durado. Por otra parte, en parte a través de von Neumann propias contribuciones (que están a la par con los de Bohr, Einstein y Schrödinger), la precisión de que el análisis funcional ha traído a la teoría cuántica ha beneficiado en gran medida de la base de debate. Sin embargo, es, simultáneamente, un perdedor de la historia: a partir de Dirac y continuando con Feynman, hasta el día de hoy, los físicos han sabido llevar a la teoría cuántica de avanzar en la más absoluta (y, en mi opinión, arrogante), el desprecio por la correspondiente matemática de la literatura. Como tal, el análisis funcional ha fracasado hasta ahora para hacer cualquier contribución real a la teoría cuántica como una rama de la física (en oposición a las matemáticas), y en este sentido, su función parece haber sido limitado a algo como la música clásica o de otras partes de la cultura humana que adornan la vida, pero no el cambio de la economía o de salvar el planeta. Por otro lado, como teoría General de la Relatividad, tal vez el desarrollo intelectual revisado en este papel es uno de los logros humanos que hacen que el planeta vale la pena salvar.

Para equilibrar este interesante debate, si no existe realmente verdaderas razones para estar en desacuerdo con los de arriba en negrita la frase de Klaas Landsman, permítame preguntarle lo siguiente:

¿Cuáles son las contribuciones reales de análisis funcional de la teoría cuántica como una rama de la física?

Aquí "real" debe ser entendido en el sentido subyacente en el párrafo anterior.

Esta pregunta se la hicieron en la física.stackexchange y en PhysicsOverflow.

Answer 1

Yo soy no puede decir que han estudiado la historia relevante en mucho detalle, pero me cuenta un escéptico de la Landsman de la reclamación. Vamos a tomar este poco de papel y el compañero que se cita como caso de prueba, el cual espero que todos estamos de acuerdo en que es "real de la física". Los autores están bien versados en el cálculo de variaciones y la teoría de la representación de la Mentira de los grupos. Ambos de estos temas están estrechamente relacionados entre sí con el análisis funcional - análisis funcional es incluso fundamental para el primero. Estamos convencidos de que estos físicos eran totalmente ignorantes del tema? O es que el argumento de que el análisis funcional sólo influyen indirectamente a través de su contacto con las aplicaciones matemáticas?

Creo que Landsman el argumento de que hace un error común entre los matemáticos puros acerca de cómo la matemática se aplica en realidad a las ciencias. Tendemos a pensar acerca de teoremas, porque esos son los principales objetos de estudio en nuestro trabajo, sino también para los consumidores de las matemáticas es el de las definiciones que son importantes. El papel de los teoremas es validar la exactitud y la importancia de las definiciones, y a veces proporcionan herramientas para la manipulación de ellos. Las definiciones de análisis funcional - (de la onu)delimitada operadores lineales, espacios de Hilbert, los estados, y así sucesivamente a aparecer por todo el lugar, en la mecánica cuántica. Y muchos de los grandes problemas abiertos en física teórica de la llamada principalmente para las definiciones en lugar de teoremas: ¿hay que medir el espacio en el que la ruta de las integrales de sentido? ¿Cuál es la correcta noción de operador de Dirac en el bucle en el espacio de un colector? Hay una teoría de gauge que incluye tanto la gravedad y el modelo estándar? Y así sucesivamente.

Answer 2

Esto me recuerda la siguiente anécdota. K. Friedrichs una vez conocí a Heisenberg en una conferencia. Agradeció a Heisenberg para la creación de la mecánica cuántica de los que se beneficiaron de las matemáticas tanto, y añadió:

"Pero los matemáticos dio mucho en volver."

Heisenberg: "¿Qué?"

Friedrichs: "Por ejemplo, von Neumann explica la diferencia entre simétrica y auto-adjuntos a los operadores".

Heisenberg: "¿Y cuál es la diferencia?"

Referencia: J. Horwath, ed. Un panorama de hungría en matemáticas, en el siglo xx, I, Springer, 2006, Página 227; él se refiere a P. Lax, Func. Anal., John Willey, 2002.

Answer 3

Como jjcale menciona en un comentario, el índice de un operador de Fredholm es muy importante en la física. Una manera de definir el número de Chern de un aislante topológico es en términos del índice de un operador de Fredholm, como se explica en [1].

También existe el concepto de un índice de un par de proyecciones. Esto se ve mucho últimamente en la física de documentos, por ejemplo, en [2]. Que papel se utiliza como una referencia en el índice de ciertos pares de las proyecciones de un artículo en la Revista de Análisis Funcional [3].

Para la física, publicado este año, ver [4]. Que trabajo se analiza la clase de seguimiento de los operadores y cita un texto en el análisis funcional.

[1] Bellissard, Jean, Andreas van Elst, y Hermann Schulz‐Baldes. "La geometría no conmutativa del efecto Hall cuántico." Diario de la Física Matemática 35.10 (1994): 5373-5451.

[2] Akagi, Yutaka, Hosho Katsura, y Torhu de Koma. "Un Nuevo Método Numérico para los Aislantes Topológicos con un Fuerte Trastorno". Revista de la Sociedad de Física de Japón 86.12 (2017): 123710.

[3] Avron, J., Ruth Seiler, y Barry Simon. "El índice de un par de las proyecciones." Revista de Análisis Funcional 120.1 (1994): 220-237.

[4] Zhi Li y Roger S. K. Mong, "Un Local de la fórmula para la Z_2 invariante topológico de aisladores" Phys. Apo. B 100, 205101 – Publicado El 4 De Noviembre De 2019.

Answer 4

Probablemente es peligroso para responder sin leer Landsman todo el papel (y la pregunta parece probable que ser cerrado como "opinión"), pero voy a grabar mi primera reacción como mucho como lcv's (^una), es decir, suena un poco strawman-ish para separar los dos y, a continuación, hoyo en uno (FA) en contra de la otra (QM).

Notas a pie de página (por Nacimiento) en las páginas 583, 585, de la famosa 1926 Dreimännerarbeit (ver comentó traducción de páginas 351, 352) identificado de inmediato el trabajo de Hilbert en el lineal de operadores como el marco correcto para QM, y son literalmente un plan para la extensión ilimitada de los operadores por von Neumann. Si esta, y Weyl del grupo de reformulación de $[P,Q]=I$, no son contribuciones de análisis funcional, entonces no sé lo que podría ser!

Hay que considerar también que, en la medida de como se pudo determinar en esta pregunta, las dos primeras veces que nuestra frase "álgebra lineal" (no me refiero a la cosa), aparece en la literatura (^b,c)

1. En Hermann Weyl del 1919 libro sobre la teoría general de la relatividad; la frase no prende entonces.

2. En Hermann Weyl del libro de 1928 en la mecánica cuántica: a continuación, se cayó en la cuenta.

Así QM y FA ambos jugaron un papel en el establecimiento de los otros, como un campo de estudio.

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^{una. Que yo calificaría a: FA (algunos dicen álgebra lineal) "es esencialmente la misma cosa", como las partes de QM entendemos.}

^{b. La frase también aparece sólo una vez, fugazmente, en Courant y Hilbert 1924 libro, de que H. Hameka escribe en su agradable informado de la cuenta, pág. 11: "por una afortunada coincidencia, álgebra lineal fue el tema del primer capítulo en el recientemente publicado libro de los Métodos de la Física Matemática por Courant y Hilbert." Nacido y Jordania citado en 1925 (traducción p. 279); como Landsman, creo que la idea de que los físicos no necesitaba la ayuda llegó en gran medida de Dirac's no citar a casi cualquier persona.}

^{c. Corrección: desde entonces he encontrado la expresión definida en Hellinger-Toeplitz (1910, pág. 292): "diejenigen Partien der Álgebra, die el hombre etwa unter dem Sammelnamen einer linearen Álgebra vereinigen könnte: bilineare Formen (Rangverhältnisse), Trägheitsgesetz der quadratischen Formen, Formenscharen (Elementarteilertheorie von Weierstraß, Kronecker, Frobenius usw.)." No es que sólo capturados después de 1928. (El Dreimännerarbeit cites Hellinger junto con Hilbert; Hellinger y Toeplitz Nacieron los compañeros de clase, y después de 1904 todos los 3 y Courant reunidos en Göttingen como el "grupo de Breslau".)}

Answer 5

A mí me parece que las fisuras entre la (sub-)disciplinas son algo más complejos que el simple análisis funcional versus la teoría cuántica dicotomía que Landsman enfatiza.

El estudio de cuestiones fundamentales en la física es perseguido por un grupo relativamente pequeño de investigadores. Después de todo, la física tiene que lidiar con las observaciones del mundo real, y el mundo real es desordenado, sucio, y por lo general mucho más complicadas que las pocas idealizaciones que son capaces de tratar con nada que se acerque rigor matemático. Esto no quiere decir que no es importante para mantener y desarrollar el contacto con las fundaciones; pero está en la naturaleza de la materia que la mayoría de las preguntas de la física no son fundacional queridos.

Yo no soy un experto en estos porqués, pero por lo que he visto, físicos que no pueden ser acusados de no prestar atención a los relevantes de la matemática de la literatura. Y yo no puedo ayudar a la detección de un matiz en lo que superficialmente se parece a "teóricos cuánticos no están prestando atención a análisis funcional" de la "corriente principal de los físicos no están prestando atención a sus compañeros de trabajo sobre los fundamentos de la teoría cuántica."

Mientras que bien puede ser válido, creo que este es el sentimiento que ignora las muchas maneras en que el análisis funcional ha permeado los físicos marco de la mente en el transcurso de casi un siglo. Un físico de la intuición acerca de la teoría cuántica es un álgebra lineal intuición. Se comunica a los estudiantes desde el principio. Se rinde homenaje a Hilbert incluso a llamar a las cosas "espacios de Hilbert" que no lo son. A pesar de que no suele ser requerido por el plan de estudios, un buen asesor de impulso de la física a los estudiantes tomar cursos en el análisis funcional si hay una oportunidad. Escuchar el "¡aaah!" de un estudiante de primero de darse cuenta de que las soluciones de un Schr\"odinger ecuación se puede organizar en un espacio vectorial es memorable. No puede haber ninguna duda de que el aprendizaje de este idioma, incluso en un tosco nivel, ha sido instrumental en una mejor comprensión de los sistemas cuánticos, incluso en la configuración que se aplica.

Por otro lado, las novedades importantes en el análisis funcional se abren camino en la atención de los físicos - y esto va más allá del enfoque centrado en los porqués. Un ejemplo son libres de variables aleatorias, conectado a la partícula elemental de la teoría de aquí, que también llevó a varios más exploraciones en las consecuencias. Por supuesto, esto no acabara en un mayorista de la revolución, pero es otra de esas piezas de un rompecabezas que nos dan una manera adicional a pensar y a comprender la física de partículas elementales.