Considere la posibilidad de una hipersuperficie $X=V(f) \subset \mathbb A^n_{\mathbb C}$ donde $f(T_1, T_2,\ldots,T_n)\in \mathbb C[T_1,Y_2,\ldots, T_n]$ es un polinomio .
Suponga que $X$ es suave, es decir, que $df(x)\neq 0 \;$ para todos los $x\in X$ . Mi pregunta es simplemente si $X $ es parallelizable es decir, si su tangente bundle $T_X$ es algebraicamente trivial.
He preguntado a un par de amigos y su respuesta fue unánime "no, ¿por qué debería ser?", pero ellos no podían proporcionar un contra-ejemplo. Aquí hay algunas consideraciones que pueden mostrar que la cuestión no es tan ridículo como parece.
Tenemos la secuencia exacta de vector de paquetes en $X$
$$0 \to T_X\to T_{A^n_{\mathbb C}}|X\to N(X/A^n_{\mathbb C})\to 0$$
Ahora, la normal bundle $N(X/A^n_{\mathbb C})$ es trivial (trivializado por $df$) y el restringido bundle $T_{A^n_{\mathbb C}}|X$ es trivial debido a que ya se $T_{A^n_{\mathbb C}}$ es trivial. Además se muestra la secuencia exacta de vector de paquetes se divide, al igual que todos exacta de las secuencias del vector de paquetes, debido a que estamos en una variedad afín. Así que podemos deducir (escrito $\theta$ para el trivial paquete de rango uno en $X$) $$\theta^n=T_X\oplus \theta $$ En otras palabras, la tangente paquete es estable trivial, y esto ya es suficiente para deducir (por tomar cuña de producto) que $\Lambda ^{n-1}T_X=\theta$ (de ahí el canónica bundle $K_X=\Lambda ^{n-1}T_X^\ast$ también es trivial). Esto es suficiente para demostrar que, de hecho, para $n=2$ la pregunta tiene una respuesta afirmativa: cada curva suave en $A^2_{\mathbb C}$ es parallelizable.
Otro argumento en favor de parallelizability es que no hay ninguna analítica obstrucciones: O. Forster ha demostrado un resultado complejo de la analítica de colectores que implica que analíticamente (y, por supuesto, differentiably) nuestro hipersuperficie es parallelizable: $T_{X_{an}}=\theta _{an}^{n-1}$.Esta es la razón por la que yo elija $\mathbb C$ como el campo de tierra: la pregunta tiene un sentido perfecto a través de una arbitraria algebraicamente cerrado de campo, pero yo quería ser capaz de citar las relacionadas con el resultado analítico.[ Como ulrich comentarios, parallelizability no puede deducir más de la no-algebraicamente cerrado campo de $\mathbb R$, como se muestra por una 2-esfera]
Editar ulrich gran referencia no sólo responde a mi pregunta, pero parece producir más resultados en la misma dirección. Por ejemplo, considere un suave completa intersección: $X=\{ x\in \mathbb C^n|f_1(x)=f_2(x)=\ldots=f_k(x)=0 \} $ con $f_i$'s de polinomios y el $df_i(x)$'s son linealmente independientes en cada una de las $x\in X$ . Entonces, tal como se dijo anteriormente, el paquete es trivial y la tangente paquete es estable trivial: $\theta^n=T_X\oplus \theta ^{k} $
Así Suslin increíble teorema de nuevo nos permite concluir que $X$ es parallelizable.
Sin embargo, no todos afín suave variedades algebraicas son parallelizable: por ejemplo, el complemento de un buen cónica en $\mathbb P^2(\mathbb C)$ es un buen afín variedad (Veronese incrustación !) pero no es ni siquiera differentiably parallelizable. Me pregunto si estos diferenciable obstrucciones son los únicos prevención algebraicas parallelizability de suave algebraicas subvariedades de $\mathbb C^n$. Cualquier pensamiento, queridos amigos?
