Si fuera a axiomatizar la noción de entropía .....

Question

¿Cuáles son los axiomas que una buena noción de entropía debe satisfacer? Por favor, tenga en cuenta que yo soy no pidiendo las definiciones de los diversos tipos de entropía como la entropía topológica o medida de la teoría de la entropía o etc. Mi pregunta es, si $X$ es un 'espacio', en un sentido amplio (topológicas, medir, algebraicas, etc.) y $\varphi:X\rightarrow X$ es un mapa, y si queremos definir una buena idea de la entropía para medir la complejidad de $\varphi$, lo axiomas debe esta noción satisfacer?

EDIT: tal vez una más razonable pregunta: Para un sistema dado por la iteración de una función, ¿qué debe hacer un buen concepto de entropía medida (con ningún o mínimo de referencia para el tipo de espacio)?

Answer 1

No se trata de un completo axiomatisation, en parte porque es un poco vago, y en parte porque yo sólo estoy muy familiarizado con la noción de entropía en dos contextos: topológico, espacio y medida del espacio. Sin embargo, no hay coincidencia en el procedimiento en tanto los casos.

1. Comenzar con un espacio $X$ y un mapa de la $f\colon X\to X$.
2. Gruesa, con su espacio a una cierta escala, de modo que la órbita de los segmentos que están muy próximos entre sí, no se distinguen.
3. Contar cuántos mutuamente distinguibles órbita segmentos de longitud $n$ que se necesita para ser "significativa"; llamar a este número $a_n$.
4. Encontrar la tasa de crecimiento $\lim_{n\to\infty} \frac 1n \log a_n$; esta es la entropía en la particular escala gruesa que usted eligió.
5. Deje que el grueso de la escala se vuelven más finas y más finas y tomar un límite para obtener la entropía.

Dependiendo de cómo hacer que el procedimiento preciso, de obtener distintos conceptos. Por ejemplo, si $X$ es un espacio topológico, "cierta escala" significa "código abierto de la cubierta", y "significativa" significa "cubre X", luego de obtener la entropía topológica. Por otro lado, si $X$ es una medida de espacio, "cierta escala" significa "código de una partición", y "significativa" significa "abarca un conjunto de uniforme de medida positiva", entonces se obtiene la medida de la teoría de la entropía.

Yo estaría interesado en saber si hay otros conceptos de entropía para otro tipo de espacios que tienen análogas definiciones. O para el caso, si hay otras nociones que no tienen análogos definiciones.

Answer 2

Además de la página de Wikipedia, puedes echar un vistazo a este artículo bastante reciente "Una caracterización de la entropía en términos de pérdida de información" de John C. Baez, Tobias Fritz, Tom Leinster http://arxiv.org/abs/1106.1791

Answer 3

Este artículo de Gromov parece tener como objetivo responder exactamente a su pregunta: proporcionar una categoría de axiomatización teórica de la entropía que sea lo más general posible. Él define la entropía como un functor de la categoría de cosas que realmente observas, a la categoría de conjuntos. Su formalismo probablemente se aplica a su caso si define sus 'detectores de estado' P (en la página 2) de manera adecuada ...

Answer 4

La topológico y medida de la teoría de la entropías de $(X,\varphi)$ formalizar promedio de entropía por iteración de parcial observaciones ($\equiv$ coarse-graining que Vaughn se menciona más arriba). (No estoy familiarizado con otros conceptos de entropía para sistemas dinámicos.) En cualquier caso, primero se necesita una elemental noción de entropía para la clase de observaciones, que es independiente de $\varphi$.

Chris Hillman tiene algunos (por desgracia) sin publicar notas en el cual le da un elegante axiomatization de la entropía que abarca muchos más ejemplos como el de la dimensión de Hausdorff o lo que él llama la Galois de la entropía.

Answer 5

Desde una perspectiva más física, está el trabajo de Lieb e Yngvason:

http://arxiv.org/abs/math-ph/0204007