¿Tiene GL_n(Z) un anillo de grupo noetheriano?

Question

Tiene la propiedad (izquierda, derecha, 2 caras) noetheriana del anillo de grupos integrales de grupos aritméticos como $GL_n(Z)$ ¿se ha considerado en la literatura?

Motivación: una tendencia reciente ha sido estudiar las propiedades de "estabilidad de representación" de las secuencias de grupos. La propiedad básica que se establece en esta línea es una especie de propiedad noeteriana y un prerrequisito para esa propiedad es que los anillos de los grupos sean noeterianos (hasta ahora, que yo sepa, sólo se han considerado secuencias de grupos finitos).

Answer 1

Obviamente un álgebra de grupo es noetheriana de izquierda si es noetheriana de derecha, llamémosla noetheriana (como es habitual).

Si $R[G]$ es noetheriano de izquierdas para algún anillo conmutativo no nulo $R$ (unital asociativo), entonces $G$ es noetheriano, es decir, satisface la propiedad max para los subgrupos, es decir, cada subgrupo es finitamente generado, o equivalentemente cada secuencia ascendente de subgrupos se estabiliza.

En efecto, si $H$ es un subgrupo, entonces el núcleo del $R$ -homomorfismo de módulo $R[G]\to R[G/H]$ es el ideal de la izquierda $I_H$ que consiste en sumas finitamente soportadas $\sum\alpha_g\delta_g$ tal que $\sum_{g\in g_0H}\alpha_g=0$ para cada coset de la izquierda $g_0H$ . Desde $R\neq 0$ el mapa $H\mapsto I_H$ es inyectiva y creciente, de ahí el resultado.

Ejemplos de grupos noetherianos son los grupos virtualmente policíclicos, y para ellos $R[G]$ es noetheriano para todo noetheriano $R$ . Estos son los únicos ejemplos conocidos con $R[G]$ noetheriano (esto es una pregunta abierta bien conocida).

Sin embargo, existen algunos otros ejemplos de grupos noetéricos, construidos por primera vez por Olshanskii (monstruos de Tarski y variantes), para los que no se conoce que el álgebra de grupo sea noetérica.

Por otro lado, se sabe que muchos grupos no son noeteros y, por tanto, no tienen un álgebra de grupo noetero:

• grupos generados infinitamente;
• grupos con un subgrupo libre no abeliano (contienen un subgrupo libre en un número contable de generadores), por ejemplo $\mathrm{GL}(n,\mathbf{Z})$ para todos $n\ge 2$ ;
• grupos elementales susceptibles (por ejemplo, solubles) que no son virtualmente policíclicos;
• (gracias a los 2 puntos anteriores y a la alternativa de Tits): todos los grupos lineales que no son virtualmente policíclicos.

La cuestión de la noeterianidad de dos lados es un poco más delicada: la obstrucción obvia es max-n (condición de maximalidad en subgrupos normales). Esta propiedad falla para muchos grupos (por ejemplo $\mathrm{GL}(2,\mathbf{Z})$ ) pero se mantiene para muchos grupos (por ejemplo $\mathrm{GL}(n,\mathbf{Z})$ para $n\ge 3$ ) y no sé si su álgebra integral de grupo es noeteriana de dos caras.

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Edición (oct. 2020): P. Kropholler y Lorensen [2] han demostrado, basándose en el trabajo de Bartholdi, que para cada uno de los valores no nulos de $R$ y noamenable $G$ , $R[G]$ no es noeteriano . En efecto, basta con comprobarlo para $R$ un dominio (o incluso un campo), en cuyo caso observaron que parte de la demostración del teorema principal de Bartholdi en [1] muestra que para algunos $n$ , $R[G]^{n+1}$ se incrusta en $R[G]^n$ como la izquierda $R[G]$ -(esto implica fácilmente la no etereidad).

Todos los (pocos) ejemplos conocidos de grupos noetéricos no virtualmente policíclicos $G$ se sabe que no son amenzables (por ejemplo, como consecuencia de la propiedad T), o simplemente no se sabe que son amenzables o no (y probablemente también se espera que sean no amenzables). Por lo tanto, encontrar grupos no virtualmente policíclicos con anillo de grupo noetheriano parece fuera de alcance por el momento.

[1] L. Bartholdi. La amenidad de los grupos se caracteriza por el Teorema de Myhill (con un apéndice de D. Kielak). J. EMS 2019. Enlace ArXiv

[2] P. Kropholler, K. Lorensen. Anillos graduados en grupo que satisfacen la condición de rango fuerte. J. Algebra 2019. Enlace ArXiv