¿Por qué es tan difícil probar infinitos números primos restringidos?

Question

Me preguntaba si había un número infinito de palindrómicas de los números primos escrito en binario (11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, ...) y descubrió rápidamente que es desconocido (OEIS A117697). De hecho, a pesar de que casi todos los palíndromos en cualquier base de compuesto, si hay un número infinito de palindrómicas de los números primos en cualquier base es desconocida (Wolfram artículo).

Antes (en el MO pregunta, "¿Por qué este operador primos de los números primos de Sophie Germain?"), Me enteré de que se desconoce si hay un número infinito de Los Primos De Sophie Germain. Además, no se sabe si hay un número infinito de Los números primos de Mersenne, Los primos de Fibonacci (OEIS A005478), Wilson de los números primos, Cullen primos, por no hablar de primos gemelos, cuatrillizos, sextuplets, y $k$-tuplas. Sin duda esta lista de nuestra ignorancia podría ser extendido.

Parece que el ingenuo (me) que no hay ninguna restricción en el trivial los números primos para los que sabemos que aún hay un número infinito en la secuencia restringidas.

Q1. Es esta percepción superficial en hecho de verdad?

Q2. Si es así, ¿hay alguna alto nivel de la razón por qué es tan difícil para demostrar estas afirmaciones? O es cada difíciles para su propio idioma la razón?

Lo pregunto por curiosidad, sin el conocimiento experto de la teoría de números. Gracias por iluminar mí!

Las Preguntas Contestadas. Gracias por la maravillosa riqueza y respuestas informativas! Esencialmente ambas preguntas han sido contestadas: Mi percepción superficial (Q1) en realidad no es exacto, como se detalla en los ejemplos proporcionados por el cilindro, Anthony Quas, y Joël, aumentada por los comentarios de varios. Un de alto nivel de la razón (Q2) para explicar la dificultad en los ejemplos que he mencionado fue muy bien encapsulado por Frank Thorne, enriquecido por anexan los comentarios. Gracias!

Answer 1

Para dar una respuesta vaga, creo que estas preguntas son difíciles debido a que la mezcla multiplicativo condiciones (primos) y aditivos condiciones (como en el gemelo primer caso).

Básicamente todos los resultados acerca de los números primos que se me ocurre bajar a la única factorización de los números enteros. Por ejemplo, los zeta de la función está dada como

$$\zeta(s) = \sum_n n^{-s} = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1}.$$

El lado derecho es la razón por la función zeta le dice a usted acerca de los números primos, pero el lado izquierdo es lo que normalmente le ayuda a demostrar teoremas. Por ejemplo, Riemann di cuenta de que el lado izquierdo se veía como algo similar a lo de sumación de Poisson es buena, y por lo tanto resultó continuación analítica y funcional de la ecuación.

En un nivel más simple, una buena prueba de que existen infinitos números primos es observar que $\sum_n 1/n$ diverge, por elementales de cálculo, y por lo tanto, el lado derecho se aparta para $s = 1$ así.

Gerhard Paseman sugiere mirar progresiones aritméticas, y creo que esta es una muy instructivo ejemplo. Mirando a la suma de $n^{-s}$ restringido a una progresión aritmética, usted no tiene ninguna ecuación como la anterior. Por el contrario, si usted toma un producto, sólo los números primos $p$ en algunos progresión aritmética, usted no consigue nada bueno como el lado izquierdo. Sin embargo, si dejas $\chi$ ser un carácter de Dirichlet, por ejemplo, un homomorphism de $(\mathbb{Z}/N)^{\times}$ a $\mathbb{C}$, luego de recibir el Dirichlet $L$-función

$$L(s, \chi) = \sum_n \chi(n) n^{-s} = \prod_p (1 - \chi(p) p^{-s})^{-1}.$$

De alguna manera esto está obligando a una clavija redonda en un agujero cuadrado: la progresión aritmética condición no podía ser manejados directamente. Pero se puede escribir como una combinación lineal de caracteres de Dirichlet, y una vez que la fuerza de todo para ser multiplicativa, la maquinaria (sumación de Poisson, etc.) todas las obras.

Entonces, en otras palabras, en mi humilde opinión, la pregunta no es "¿por qué es el gemelo primer conjetura difícil", pero "¿por qué demostrar nada acerca de los números primos en todo?" Nuestra caja de herramientas es, en mi experiencia, sigue siendo bastante limitada.

Answer 2

"Parece que el ingenuo (me) que no es trivial restricción sobre los números primos para los que sabemos que aún hay un número infinito en la secuencia restringidas. Q1. Es esta percepción superficial en hecho de verdad?".

No, definitivamente no es cierto. Aquí están algunos ejemplos:

(1) Vamos a $a>0, b$ dos enteros primos relativos. Hay infinitos primos de la forma $an+b$? Sí.

(2) Vamos a $P(X)$ ser un monic polinomio de grado $n$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$. Hay infinitamente muchos prime $p$ tal que $P(x)$ ha $n$ distintas raíces mod $p$? Sí.

(3) Deje $X$ ser un proyectiva lisa variedad, más $\mathbb{Q}$, $\chi$ de Euler-Poincaré característica del colector de $X(\mathbb{C})$, $n$ un entero. Hay infinitamente muchos prime $p$ de manera tal que la el número de puntos de $X(\mathbb{F}_p)$ es $\chi$ modulo $n$? Sí. Misma pregunta con $X(\mathbb{C})$ reemplazado por $X(\mathbb{R})$? Sí.

(4) existen infinitos números primos $p$ que puede ser escrito $a^2+b^2$? Sí. $a^2+8b^2$ con $b$ impar? Sí...

(5) Deje $a,b$ ser de dos números enteros (de tal manera que $4a^3+27b^2 \neq 0$), $a_p$ el número de soluciones de $y^2=x^3+ax+b$ modulo $p$, menos $p$. Hay una infinidad de números primos $p$ tal que $a_p=0$? sí. Hay una infinidad de números primos $p$ tal que $a_p \neq 0$? Sí. Deje $\alpha$ e $\beta$ ser dos reales entre el $-1$ e $1$, e $\alpha$ menor que $\beta$; hay infinitamente muchos los números primos $p$ tal que $\alpha < a_p/2 \sqrt{p} < \beta$? Sí.

Uno podría multiplicar los ejemplos. Todos ellos pertenecen a la teoría algebraica de números, y una línea de pensamiento que ha comenzado con la del teorema de Dirichlet (ejemplo 1), y se ha desarrollado en la teoría moderna de la algebraicas número de campos de Galois representaciones, automorphic de las formas y el programa de Langlands. Tal vez la más sobresaliente resultado es Cebotarev densidad del teorema, de que (1) es un caso muy especial, (2) es una consecuencia, (3) también una consecuencia en combinación con Grothendieck del étale cohomology, (4) también una consecuencia. Sólo (5) se encuentra realmente más allá de este resultado, debido, respectivamente, a Noam Elkies, Jean-Pierre Serre, y la larga lista de personas responsables de la prueba de Sato-Tate.

Hay que reconocer que son naturales y muy interesante secuencias de enteros en los que podemos razonablemente suponer que existen infinitos números primos, y para que esta línea de pensamiento, no se supone que se aplican (Mersenne de los números primos, a nombre de uno).

Answer 3

Aquí hay otro papel que indica que la respuesta a Q1 es no:

Mauduit y Rivat, Sur de la onu problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres estrenos. (El francés. Inglés, francés resumen) [Sobre un problema planteado por Gelʹfond: la suma de los dígitos de los números primos] Ann. de Matemáticas. (2) 171 (2010), no. 3, 1591-1646.

Que fix $q\ge 2$ e $m$ tal que $\gcd(q-1,m)=1$. El documento considera que el dígito de las sumas de los números primos escrito en base $q$ y reduce la suma modulo $m$. Ellos muestran que esta cantidad se distribuye por igual en los residuos de las clases modulo $m$.

Yo diría que este da no trivial condiciones (por ejemplo, dígito binario suma es impar) para los que existen infinitos números primos.