Visibilidad de vértices en poliedros

Question

Supongamos que$P$ es un poliedro cerrado en el espacio (es decir, una unión de polígonos que es homeomorfo a$S^2$) y$X$ es un punto interior de$P$. ¿Es cierto que$X$ puede ver al menos un vértice de$P$? Más precisamente, ¿todo el segmento abierto entre$X$ y algún otro vértice se encuentra en el interior de$P$?

Answer 1

Hay muchos puntos en el interior de este poliedro, construido (de forma independiente) por Raimund Seidel y el proyecto de Ley de Thurston, que no vea los vértices. Interior de las regiones se cúbico de espacios con "vigas" de las sangrías pasando por encima de y abajo, izquierda y derecha, a proa y a popa. De pie en una de estas pequeñas células, está rodeado por estas vigas y puede ver poca cosa.

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      ^{La figura de: Discretas y Geometría Computacional. (Libro de enlace).}

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Las impresiones visibles no son agujeros, en el que no ir todo el camino a través de, sino detenemos antes de penetrar en el otro lado. Así que los tres caras posteriores de la rodea el cubo de oscurecida en este punto de vista—son, de hecho, caras cuadradas de el cubo. Por lo tanto $P$ es de hecho homeomórficos a una esfera.

Seguir Tony Huynh punto: Este poliedro $P$ no puede ser tetrahedralized, es decir, no se puede dividir en tetraedros de cuyas esquinas son vértices de $P$.

Answer 2

Tengo un simple ejemplo y veo que su idea es similar a la de arriba.

Cortar los vértices de un cubo para formar 8 triángulos pequeños y supongamos que los triángulos son rígidos pero las caras no son. A continuación, gire de los triángulos, 4 de ellas hacia la derecha y el resto en sentido antihorario, en forma alternada.

Las imágenes se dibujan usando Geogebra 3D.

Answer 3

Tenga en cuenta que la respuesta es sí en 2 dimensiones, ya que cualquier polígono puede ser trianguladas (sin agregar vértices adicionales). Por lo tanto, cada punto en el interior se ve al menos 3 vértices de $P$.

Se puede intentar hacer lo mismo en 3 dimensiones, pero, sorprendentemente, existen poliedros que no puede ser descompuesto en tetraedros (sin agregar vértices adicionales). Ver aquí, donde se muestra que el problema de decidir si un 3-dimensional de los poliedros pueden ser descompuestos en tetraedros es NP-completo. Las referencias en las que el papel podría ser útil.

Answer 4

He aquí un ortogonales variación en Ali Khezeli ejemplo, que T. S. Michael llamadas¹el octoplex. El punto en el centro del poliedro no es visible para cualquier vértice.

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          ^{(Figura por Emmely Rogers.)}

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¹Michael T. S. de Cómo la Guardia de una Galería de Arte y otros Matemáticos Discretos Aventuras. Baltimore: Johns Hopkins U Press, 2009. (JHU libro enlace.)

Answer 5

Resulta que, dado cualquier convexo compacto no plano$X\subseteq\mathbb{R}^3$, su límite${\partial}X$ se puede aproximar de manera arbitraria (simultáneamente en forma y área de superficie) por un poliedro$P$ homeomórfico a$S^2$ cuyo conjunto $N_P$ de los puntos no visibles desde ninguno de los vértices de$P$ tiene un límite que también se aproxima a$P$ y${\partial}X$ en el sentido de que cada punto de${\partial}N_P$ es dentro de$\epsilon$ de algún punto de${\partial}X$ y viceversa.