La fórmula de Riemann para la métrica en un vecindario normal

Question

Me encantaría entender la famosa fórmula $g_{ij}(x) = \delta_{ij} + \frac{1}{3}R_{kijl}x^kx^l +O(||x||^3)$, el cual es válido en Riemann normal coordenadas y posiblemente situaciones de carácter más general.

Soy consciente de 2 pruebas: Una con los campos de Jacobi [cf. por ejemplo, S. Sternberg de la "Curvatura en Matemáticas y Física" en la que la cuestión del título y la fórmula es robado :-) o cf. S. Lang "Diferencial y de Riemann Colectores"]. La otra prueba que implica el cálculo de $\partial_k\partial_lg_{ij}(x)$ comparte algunas simetrías de curvatura [cf. M. Spivak "Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Vol. 2", donde es una de varias páginas de "pelo de cálculo" o cf. H. Weyl de la edición de 1923 de Riemann, Habilitationsvortrag (reproducido en un reciente libro alemán por Jürgen Jost) que me parece uncomprehensible.]

Es usted consciente de cualquier otro medio de prueba? Son normales las coordenadas necesarias?

Mientras que los campos de Jacobi prueba es corta y lo suficientemente elegante, no me molesta que se requiere de la "alta tecnología" que no participan en el producto final. De alguna manera, la fórmula debe ser comprobable por puro cálculo. De hecho, se afirma como un ejercicio en el P. Petersen "Geometría de Riemann": "Desde el contexto supongo que él cree que debe seguir a partir de la expresión de $\partial_lg_{ij}$ como una suma de 2 símbolos de Christoffel y la expresión simplificada para la curvatura en $x=0$ donde los símbolos de Christoffel se desvanecen. Ay de mis intentos en este ir en círculos...

Me parece que la situación bastante sorprendente: No muchos libros de texto el tratamiento de esta fundamental e histórico de la fórmula. (La estimación de la muestra en mi estantería es 3/17. E. g. parece que ni siquiera en Levi-Civita clásico.)

Actualización/Scholium:

En la lengua clásica: La knackpoint parece ser un "diferencial de Bianchi fórmula" para los símbolos de Christoffel en $0$. Esto se deduce de la ecuación geodésica. Veo que no hay otra manera sin embargo.

Un enfoque más moderno, minimizar (pero no eliminar) el papel de geodesics está en A. Gray Tubos libro. (Señalar en comentarios. Estoy esperando www.amazon.de para entregar este tesoro.)

$\bullet$ , Mientras que geodesics son muy geométrica y normal coordenadas son muy prácticos, a mi entender la fórmula es un poco ungeometric. Lo que estoy esperando/pidiendo es una coordenada independiente de la fórmula para la derivada segunda de $g$ en términos de un adecuado "referencia de conexión".

Answer 1

Tal vez la forma más sencilla de entender esta fórmula es pensar en cómo se podría ir sobre la que se deriva: Tratar de encontrar la "mejor" coordenadas, puede centrada en un punto dado y ver lo que no cambia en tales coordenadas.

Supongamos $g$ es una métrica de Riemann en $M$ e $p\in M$ es fijo. Empieza por elegir un $p$centrada en el sistema de coordenadas local de $x = (x^i)$ a $U\subset M$ y escribir $$ g = g_{ij}(x)\,\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j. $$ Desde $\bigl(g_{ij}(0)\bigr)$ es una matriz positiva definida, usted puede hacer un cambio lineal de coordenadas en $x$, de modo que $g_{ij}(0) = \delta_{ij}$. Llame a un $p$centrada en el sistema de coordenadas $0$adaptado a las $g$ a $p$.

Ahora, pregunte cuál sería el efecto de expresar $g$ en las coordenadas $y=(y^i)$ que están relacionados con la coordenada $x$ por $x^i = y^i + \tfrac12a^i_{jk} y^jy^k$ para algunos $a^i_{jk} = a^i_{kj}$. Es fácil ver por expansión en series de Taylor que únicamente pueden elegir el$a^i_{jk}$, de modo que, cuando escribimos $$ g = \bar g_{ij}(y)\,\mathrm{d}y^i\mathrm{d}y^j, $$ tenemos, por todos los $i$, $j$, y $k$, $$ \frac{\partial\bar g_{ij}}{\partial y^k}(0) = 0. $$ (Está claro que este es el mismo número de ecuaciones como incógnitas para el $a^i_{jk}$, uno sólo tiene que comprobar que el sistema homogéneo de ecuaciones tiene sólo la solución cero cuando la parte no homogénea se establece en cero.) Llame a un sistema de $p$centrados en las coordenadas $1$adaptado a las $g$ a $p$. Por lo tanto, para un sistema de coordenadas $y$ es $1$adaptado a las $g$ a $p$, uno tiene $$ g = \left(\delta_{ij} + \tfrac12 \frac{\partial^2g_{ij}}{\partial y^k\partial y^l}(0)\, y^ky^l + R^3_{ij}(y)\right) \ \mathrm{d}y^i\mathrm{d}y^j, $$ donde $R^3_{ij}(y)$ se desvanece a fin de $3$ a $y=0$.

Finalmente, tenga en cuenta lo que esa medida se vería en las coordenadas $z = (z^i)$ que se definen por $y^i = z^i + \tfrac16 b^i_{jkl} z^jz^kz^l$ para algunas constantes $b^i_{jkl} = b^i_{kjl} = b^i_{jlk}$. Ahora, hay $n^2(n{+}1)(n{+}2)/6$ incógnitas $b^i_{jkl}$, pero hay $n^2(n{+}1)^2/4$ cantidades en el segundo-orden de expansión de Taylor de $g = {\bar g}_{ij}(z)\mathrm{d}z^i\mathrm{d}z^j$, es decir, $$ g = \left(\delta_{ij} + \tfrac12 \frac{\partial^2{\bar g}_{ij}}{\partial z^k\partial z^l}(0)\, z^kz^l + {\bar R}^3_{ij}(z)\right) \ \mathrm{d}z^i\mathrm{d}z^j. $$ Por lo tanto, las ecuaciones $\frac{\partial^2{\bar g}_{ij}}{\partial z^k\partial z^l}(0)=0$, como ecuaciones lineales de la $b^i_{jkl}$, están sobredeterminados por $$ n^2(n{+}1)^2/4 - n^2(n{+}1)(n{+}2)/6 = n^2(n^2{-}1)/12 $$ las ecuaciones.

No es difícil ver que la correspondiente homogéneo de ecuaciones en el $b^i_{jkl}$ tiene sólo la solución de $b^i_{jkl}=0$. De hecho, el $b^i_{jkl}$ se determina únicamente por la que requiere que, cuando se computa la expansión de Taylor acerca de la $z=0$ tenemos $$ g = \left(\delta_{ij} + \tfrac12 h_{ij,kl}\, z^kz^l + R^3_{ij}(z)\right) \ \mathrm{d}z^i\mathrm{d}z^j, $$ con $h_{ij,kl}+h_{ik,lj}+h_{il,jk}=0$ (que es $n^2(n{+}1)(n{+}2)/6$ ecuaciones independientes en el $b^i_{jkl}$). Decir que un sistema de coordenadas $z = (z^i)$ centrada en $p$ para que $g$ tiene su expansión de Taylor en $p$ de la forma anterior es $2$adaptado a las $g$ a $p$. Dos sistemas de coordenadas en $p$ están relacionados en el formulario de $z^i = a^i_j\,\bar z^j + O(|{\bar z}|^4)$ donde $a = (a^i_j)$ es una matriz ortogonal.

Por lo tanto, el $2$adaptados a la condición de las fuerzas de la $h_{ij,kl}$ a mentir en un espacio vectorial de dimensión $n^2(n^2{-}1)/12$, como se explicó anteriormente.

Ahora es una cuestión de álgebra lineal para mostrar, como Riemann, que estas condiciones implican que el $h_{ij,kl}$ puede escribirse de forma única en el formulario $$ h_{ij,kl} = \tfrac13(R_{kijl}+R_{lijk}) $$ donde $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$ e $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$.

Answer 2

Otro enfoque para la definición de la integral normal coordenadas de expansión de la fórmula se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712092 (Cerrado Fórmula de Riemann Normal Coordinar la Expansión, por U. Müller, C. Schubert y A. van de Ven). Este enfoque indica que la definición de la integral normal coordenadas son la gravedad análogo de la Fock-Schwinger calibre en la teoría de gauge. Fock-Schwinger calibre (centrado en el origen) es definida por la condición de $$x^\mu A_\mu(x)=0. \tag{1}$$ En el local de la vecindad de el origen, la condición (1) puede ser resuelto en términos de la siguiente representación integral $$A_\mu(x)=x^\nu\int\limits_0^1F_{\nu\mu}(s x)s ds, \tag{2}$$ que conecta el medidor de potencial $A_\mu$ y la fuerza del campo tensor $F_{\mu\nu}$. Como resultado, la expansión de Taylor coeficientes de $A_\mu$ en el origen se expresa a través de la covariante derivados de $F_{\mu\nu}$.

En analogía, Riemann normal de coordenadas centrado en el origen puede ser definido por las condiciones $$g_{\mu\nu}(0)=\delta_{\mu\nu},\;\;\;x^\mu g_{\mu\nu}(x)=x^\mu g_{\mu\nu}(0). \tag{3}$$ (la segunda condición es equivalente a la siguiente condición en la Chrisoffel símbolo $x^\mu x^\nu \Gamma_{\mu\nu}^\lambda(x)=0$, lo que determina el sistema de coordenadas local hasta rígido en rotación).

Claramente, (3) es el análogo de (1). Mientras que el análogo de (2), resultó en la Mueller, Schubert y van de Ven papel, es \begin{eqnarray} && g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\int\limits_0^1ds_1\,(1-s_1)\int\limits_0^1ds_2\,(1-s_2)\cdots \int\limits_0^1ds_k\,(1-s_k) \\ && \times \sum\limits_{l=0}^ks_1s_2^3\cdots s_l^{2l-1}s_{l+1}^{2k-2l-1} s_{l+2}^{2k-2l-3}\cdots s_k \\ && \times {\cal R}(s_1 s_2 \cdots s_l x,x){\cal R}(s_2 s_3 \cdots s_l x,x)\cdots {\cal R}(s_l x,x) \\ && \times {\cal R}(s_{l+1} x,x){\cal R}(s_{l+1}s_{l+2} x,x)\cdots {\cal R}(s_{l+1}s_{l+2}\cdots s_k x,x), \tag{4} \end{eqnarray} donde $${\cal R}^\mu_{\;\nu}(x,y)=R^\mu_{\;\alpha\beta \nu}(x)y^\alpha y^\beta.$$

La generalización de (4) a la de Fermi normal coordenadas en tubular de la geometría se considera en http://arxiv.org/abs/1203.1151 (Todo el fin de covariante tubular de expansión, por P. Mukhopadhyay).

Answer 3

Mi pregunta ha sido respondida en los comentarios por Liviu Nicolaescu:

La (casi) la última prueba (para mi gusto) es a través de A. Gray fórmula(e) (simétrica) superior derivada covariante(s) de la normal de coordinar campos vectoriales. Cualquier exposición de la normal de coordenadas que carecen de esta fórmula es muy deficiente. (Prefiero simétrico c.d. de los diferenciales de la normal de coordenadas...). Es válido para cualquier conexión simétrica y da Riemann, fórmula por la aplicación de algunos paralelo bilineal forma (por ejemplo, la métrica de Riemann). (Riemann, realmente original Habilitationsvortrag fórmula de necesidades de un poco de álgebra, cf. Dedekind/Weber [abajo] o Spivak.)

El segundo mejor método es usar los campos de Jacobi (cf. por ejemplo, Le Spectre (LNM 194) para los términos de orden superior sin detalle. (Hardcore syntacticists: Strook, Introducción a la Una. de Rutas de acceso en un Riem. Mf.)).

Tercer mejor: Repere móvil, pero esto parece de Riemann. (Cf. por ejemplo, el Calor y Núcleos de Dirac Operadores, o Atiyah/Bott/Patodi apéndice, o Cartan del Geometrie des Espaces de Riemann.)

La histórica primera prueba es debido a Dedekind/Weber (Anmerkung en "Bernhard Riemann, Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlaß", 1876/1892) demostrando a través de Riemann, Commentatio fórmula (que también está en el Spivak) para la curvatura. (Yo podría agilizar esta bastante sorprendentemente haciendo la de Levi-Civita en la cotangente del espacio.)

H. Weyl (1919/1923) tiene históricamente la segunda prueba en su edición alemana de Riemann, Habilitationsvortrag, basado en el extrínseca lema de Gauss (es decir, por ejemplo, Besse, Einstein Mfs, Thrm. 1.45), que es lo que Spivak ha trabajado, y posiblemente se ha inspirado en la repere móvil de prueba (explícita en Calor Núcleos [arriba]) - yo no (y estoy dispuesto a) comprender Cartan de la prueba.)

Los mejores clásicos de Riemann prueba está en L. P. Eisenhart, Geometría de Riemann, 1925/1949

Todavía no tengo una opinión sobre R. Bryant respuesta. Posiblemente no es exactamente lo que Riemann hizo para su conferencia inaugural de 1854. Pero entonces, Riemann había al menos en trabajos posteriores (Commentatio, 1861) introdujo los símbolos de Christoffel (escrito $p_{\iota,\iota^\prime,\iota^{\prime\prime}}$) y otras fórmulas de curvatura.