¿Cuál es la notación para una función restringida a un subconjunto del codominio?

Question

Supongamos que tenemos una función f : a → B entre dos conjuntos a y B. (La misma pregunta se aplica a grupo homomorphisms, continua mapas entre espacios topológicos, etc. Pero para simpicity vamos a limitarnos al caso de arbitrario mapas entre conjuntos.)

Si tengo subconjunto A' ⊆ a del dominio, a continuación, me puede restringir f a Una'. No es la función f|_A' : Un' → B dada por f|_A'(a) = f(a) para todo a ∈ A'.

Supongamos ahora que tengo subconjunto B ⊆ B el codominio B que contiene la imagen del mapa f. Igualmente puedo restringir f a B', lo que significa que existe una función g : a → B', que está dada por g(a) = f(a) para todo a ∈ A.

En general, podría ser útil considerar la posibilidad de tales funciones g y tienen un nombre para ellos, por ejemplo si tengo una función B' → C que quiero aplicar después. Por desgracia, no he visto un nombre o símbolo de la función g en la literatura.

Hay notación para la la restricción g de f a un subconjunto de la codominio similar a la notación f|_A' para una restricción para un subconjunto del dominio?

Answer 1

Con respecto al nombre de la noción en cuestión, pero no la notación, Exposé 2 por A. Andreotti en el Seminario A. Grothendieck 1957, disponible en www.numdam.org sugiere lo siguiente:

Considere la posibilidad de un morfismos $f:A\rightarrow B$ en alguna categoría, subobjetos $i:U\rightarrow A$ e $j:V\rightarrow B$ de % de $A$ e $B$, respectivamente, y el cociente objetos de $p:A\rightarrow P$ e $q:B\rightarrow Q$ de % de $A$ e $B$, respectivamente.

A continuación, $f\circ i$ es la restricción de $f$ a $U$. Doblemente, $q\circ f$ es el corestriction de $f$ a $Q$. (En particular, con el habitual uso del prefijo "co", corestriction no es adecuado para el concepto en cuestión.)

Por otra parte, si hay un morfismos $g:P\rightarrow B$ con $g\circ p=f$,, a continuación, $g$ es el astriction de $f$ a $P$. Dualmente, si hay un morfismos $h:A\rightarrow V$ con $j\circ h=f$,, a continuación, $h$ es el coastriction de $f$ a $V$. (Por supuesto, uno puede discutir si se debe intercambiar los términos astriction y coastriction (según lo sugerido por Gerald Edgar).)

Answer 2

Lo llamaría simplemente un retroceso (junto con$B'$). Por lo tanto, puede denotarlo por$f \times_B B'$.

Si retiramos un mapa$f : A \to B$ a lo largo de un subconjunto$B' \subseteq B$, obtenemos el mapa$f^{-1}(B') \to B', x \mapsto f(x)$. Si la imagen de$f$ resulta ser un subconjunto de$B'$, entonces$f^{-1}(B')=A$.

Answer 3

Se llama restricción de rango. No existe una notación establecida, pero bien podría usar la notación Z que es f ▷ B '. ( f \rhd B' en LaTeX más amsfonts)

Answer 4

He aquí algunas anotaciones.

Dado un morfismos $f : A \rightarrow B$ y un subobjeto $b': B' \rightarrow B$, el astriction de $f$ a $B' \subseteq B$ puede ser denotado $b'\backslash\, f : A \rightarrow B'$, pronunciado "$b'$ bajo $f$." Satisface $b'\circ (b'\backslash\, f).$ Por ejemplo, si tenemos una función de $f : A \rightarrow B$ y subconjuntos $X$ de % de $A$ e $Y$ de % de $B$ tal que $f(X)\subseteq Y$, entonces el mapa correspondiente $X \rightarrow Y$ puede ser denotado $Y\,\backslash\, (f \circ X).$

Notación Similar puede ser utilizado en álgebra lineal para denotar conjuntos de soluciones. Por ejemplo, para denotar el conjunto de todos los vectores $x$ la satisfacción de una ecuación lineal $Ax=b,$ tiendo a escribir $A \backslash b.$ Este cuenta con una intuitiva mirada sobre ella: $$Ax = b \iff x \in A \backslash b.$$

La conexión, básicamente, es que en la categoría de matrices, $Ax=b$ puede ser visto como una factorización de $b$ a través de la cola de $A$ (debido a $A$ es de la izquierda). Así, el principio general es que:

En cualquier categoría, $g \backslash \,f$ es una buena notación para el conjunto de todos los factorizations de $f$ a través de la cola de $g$, o por el único dicha factorización sólo en caso de que una única factorización existe.

Dualmente, si tenemos una función de $f : A \rightarrow B$ y un cociente objeto de $a' : A \rightarrow A'$, podemos escribir $f/a'$ para el morfismos $A' \rightarrow B$ cuando existe, o bien usar esta notación para denotar el conjunto de todos los morfismos.

Answer 5

La terminología que he visto para esto es "restricción".