¿La mayoría de las curvas sobre Q no tienen sentido?

Question

Recién salido de la arXiv prensa es el resultado notable de Manjul Bhargava diciendo que la mayoría de hyperelliptic curvas de más de $\mathbf{Q}$ no tiene puntos racionales. Don Zagier sugiere la paráfrasis : la Mayoría de los hyperelliptic curvas son inútiles.

Crucial para la precisa formulación matemática de la instrucción es un tipo de ecuación canónica para hyperelliptic curvas (de un valor fijo de género) que permita definir la densidad de los que no tienen puntos racionales.

¿Cuál es la instrucción correspondiente para todas las curvas de más de $\mathbf{Q}$ ?

Addendum (2013/09/28) Una muy buena introducción a la obra de Bhargava se puede encontrar en cuántos puntos racionales hace una curva aleatoria tiene? por Wei Ho.

Answer 1

Mi papel con Bjorn Poonen (la que se hace referencia y se discute en Bjorn respuesta a este MO pregunta: Son la mayoría de la cúbico plano de curvas sobre los racionales elíptica?) tiene una indicación precisa de las curvas planas. Usted puede seguir Mike sugerencia en su comentario para hacer una declaración para todas las curvas, pero esto tiene un problema. Es decir, el espacio de moduli de curvas de género $g$ es de tipo general para $g>22$ (o algo así) así que, si usted cree Lang conjetura (o algunos debilitamiento de ella) entonces no hay ninguna (o muy pocos) "general" en las curvas de género $g$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$, por lo que se espera que la mayoría de las curvas de género $g$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$ están restringidos a racional subvariedades del espacio de moduli y el más grande es el hyperelliptic locus, así que tal vez en algún extraño sentido "la mayoría" de las curvas de más de $\mathbb{Q}$ son hyperelliptic.

Answer 2

Supongo que diría esto. Vamos a h: M_g(Q) -> R ser la altura de la función que corresponde a la Hodge clase. Sea S(N) el conjunto de puntos de M_g(Q) de altura en la mayoría de N. por último, sea P la imagen de la proyección de M_{g,1}(Q) M_g(Q). (es decir, "el conjunto de punta de curvas.") A continuación, una versión de la afirmación de que usted está buscando sería:

$\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{|S(N) \cap P|}{|S(N)|} = 0$.

Pero como Felipe dice, es posible que asintóticamente 100% de los puntos en $S(N)$ son hyperelliptic, lo que hace que este no es muy general en todos. Así que usted podría ir más hardcore y probar este.

Para todas las subvariedades de X de M_g con infinidad de puntos racionales, ya sea:

• $X(\mathbf{Q}) \subset P$ (es decir, cada una de las curvas parametrizadas por X tiene un punto)

o

• $\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{|S(N) \cap P \cap X|}{|S(N) \cap X|} = 0$

Es decir, de cada curva de la familia X tiene un punto, o casi ninguno de ellos lo hacen.

Por supuesto, no tengo idea de si esto es cierto-tratando de escribir algo en la vena de su pregunta que no está "en secreto sólo acerca de hyperelliptic curvas".