Gracias por su interés en el periódico. (También es agradable ver algo en Math Overflow de lo que sé algo). Tu resumen de los crímenes variacionales se acerca bastante a la realidad: se refiere a ciertos "abusos" del método de Galerkin, en los que se violan algunos de los supuestos y, por tanto, las estimaciones del error estándar (por ejemplo, Lema de Céa ) ya no son válidos.
Ya que tienes la idea básica, permíteme que intente aportar algo de contexto y motivación. Como ejemplo sencillo, consideremos la ecuación de Poisson en algún dominio $ U \subset \mathbb{R}^n $ con condiciones de contorno de Dirichlet,
$$ - \Delta u = f \text{ on } U, \quad u \rvert _{\partial U} = 0 .$$
Esto se puede escribir como un problema variacional sobre $ V = \{ v \in H^1(U) : v \rvert_{\partial U} = 0 \} $ : Buscar en $ u \in V $ tal que
$$ \int _U \nabla u \cdot \nabla v \; dx = \int _U f \thinspace v \; dx , \quad \forall v \in V .$$
(Se puede ver, utilizando la integración por partes, que cualquier solución clásica resuelve este problema variacional). Si definimos la forma bilineal $ B(u,v) = \int _U \nabla u \cdot \nabla v \; dx $ y funcional $ F(v) = \int _U \thinspace f \thinspace v \; dx $ entonces este problema se puede escribir en la forma abstracta habitual: Encontrar $ u \in V $ tal que
$$ B(u,v) = F(v) ,\quad \forall v \in V .$$
Para aplicar el método Galerkin, necesitamos tomar un subespacio $ V _h \subset V $ (por ejemplo, la extensión de alguna base de elementos finitos) y resolver el problema variacional de Galerkin: Hallar $ u _h \in V _h $ tal que
$$ B(u_h, v ) = F(v), \quad \forall v \in V_h .$$
El problema es que, para muchos fines prácticos, esto es imposible de calcular. En primer lugar, la forma bilineal $ B(\cdot, \cdot) $ requiere que calculemos exactamente una integral. En la práctica, esto no suele ser posible, por lo que la gente aproxima la integral utilizando cuadratura numérica . Sin embargo, se trata de un delito variacional, ya que al utilizar la cuadratura numérica se sustituye $ B (\cdot, \cdot) $ por algunos $ B_h (\cdot, \cdot) \approx B(\cdot, \cdot) $ en el principio variacional de Galerkin; asimismo, la cuadratura numérica también sustituye a $ F(\cdot) $ por algunos $ F_h(\cdot) \approx F(\cdot) $ . (Esto aparte del hecho de que los ordenadores sólo utilizan aritmética de precisión finita, por lo que aunque tuviéramos una fórmula cerrada para estas integrales, siempre habría algún error de coma flotante implicado).
Además, si $U \subset \mathbb{R}^n $ es poliédrica, entonces se puede triangular exactamente, por lo que podemos obtener $ V_h \subset V $ para ser algún espacio de elementos finitos soportado en esta malla a trozos lineal. Sin embargo, si $U$ tiene un límite curvo, entonces una malla lineal a trozos (o polinómica a trozos, en el caso de elementos isoparamétricos) sólo aproxima el dominio real. Dado que las funciones en $ V_h$ se definen en un dominio ligeramente diferente a los de $V$ en este caso $ V_h \not\subset V $ .
Ahora bien, en el mundo real del cálculo numérico (ingeniería, etc.), la gente no se preocupaba demasiado por utilizar estas aproximaciones en lugar del problema variacional Galerkin exacto; era una necesidad práctica, y las aproximaciones parecían converger sin problemas. Sin embargo, estos "delitos variacionales" significaban que el análisis abstracto de errores de Galerkin ya no era válido para los métodos modificados. Strang lo señaló, y sus lemas cuantifican los errores adicionales introducidos por estos "crímenes".
En cuanto a la historia/terminología: que yo sepa, el propio Strang acuñó el término "delito variacional". La referencia más antigua que conozco es [Strang, G. (1972), Variational crimes in the finite element method. En The mathematical foundations of the finite element method with applications to partial differential equations (Proc. Sympos., Univ. Maryland, Baltimore, Md., 1972), páginas 689-710. Academic Press, Nueva York], aunque no he podido encontrar una copia electrónica. Después publicó un artículo más fácil de encontrar para un público más amplio: Strang, G. (1973), Piecewise polynomials and the finite element method. Bull. Amer. Math. Soc., 79, 1128-1137. Por último, en el libro Brenner, S. C., y L. R. Scott (2008), The mathematical theory of finite element methods, volumen 15 de Texts in Applied Mathematics. Springer, Nueva York, tercera edición. ; El capítulo 10 trata íntegramente de los delitos variacionales.
