¿Qué ' enfoque algebraico s QM bueno para?

Question

El algebraicas formulación de la mecánica cuántica (y relacionados con la materia, como la cuántica, termodinámica y dinámica de sistemas, etc.) a través de la C*-álgebras proporciona un punto de vista basado principalmente en resumen el análisis funcional. Sin embargo, en realidad no he visto un trabajo de aplicación de este enfoque, es decir, un ejemplo de un (preferiblemente física), problema que es difícil de resolver, o incluso a formular en el estándar de formalismo, mientras considerablemente más fácil para hacer frente con todo esto algebraicas cosas. Alguna idea? Sin tales ejemplos concretos de todo el campo parece ser muy interesante, matemáticamente, tal vez, pero que carecen de cualquier sustancia física (incluso si a veces haciéndose pasar como tener conexiones con la física).

edit: por la norma de "formalismo" que significa "observables, es decir, los operadores, que actúa sobre un espacio de Hilbert de estados físicos", ya sea en Schroedinger imagen (dependencia del tiempo de los estados) o Heisenberg (dependencia del tiempo de los operadores). C*algebraicas enfoque se inicia a partir de una C*-álgebra y define los estados como positivo funcionales de los elementos del álgebra, la evolución en el tiempo como una *-automorphism etc. (para una introducción a este formalismo, ver http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/12/88/67/PDF/qds.pdf)

Esto podría ser de interés menor a la no-físicos de un típico MO post, pero espero que sea pertinente.

Answer 1

Si usted desea considerar cuántica, física estadística correctamente este enfoque es necesario. Los KMS condición da una generalización de la cuántica Gibbs postulado que permite el tratamiento de las transiciones de fase, la coexistencia de varias fases, etc.

El funcional-metodología analítica también es importante por otras razones (además de la aparejado el espacio de Hilbert que es necesario incluso para entender una partícula libre): espacio de Fock depende de él, como axiomática la teoría cuántica de campos, y las páginas 12-13 de Bratteli y Robinson v. 1 dar algunas rápida de fondo a los KMS enfoque (ambos volúmenes son vale la pena mirar). Un libro de Sewell se llama la mecánica Cuántica y su emergente macrophysics también da un poco de físicos relevantes de fondo.

Por CIERTO, los KMS condición no es tan oscura como podría parecer a primera vista (el artículo de la Wikipedia es uno de los pocos lugares que recuerdo haber visto que desmitifican). En la imagen de Heisenberg observables de evolucionar en el tiempo de evolución mapa

$\tau_t : A \mapsto e^{iHt/ \hbar}Ae^{-iHt/ \hbar}.$

La adecuada generalización de la clásica regla de Gibbs es

$\langle A \rangle = Z^{-1}\mbox{Tr}(e^{-\beta H} A), \quad Z := \mbox{Tr}(e^{-\beta H}).$

Para ver esto, considere la posibilidad de la proyección observable $\Pi_k := \lvert k \rangle \langle k \rvert$. Tenemos que

$\langle \Pi_k \rangle = Z^{-1}\mbox{Tr}(e^{-\beta E_k} \lvert k \rangle \langle k \rvert) = Z^{-1}e^{-\beta E_k}$

de conformidad con el clásico de la física estadística. Ahora genéricos observables $A$$C$, tenemos que

$\left \langle \tau_t(A)C \right \rangle = Z^{-1}\mbox{Tr}(e^{-\beta H} e^{iHt/\hbar}Ae^{-iHt/\hbar}C)$

$= Z^{-1}\mbox{Tr}(Ce^{iH(t+i\hbar\beta)/\hbar}Ae^{-iHt/\hbar})$

$= Z^{-1}\mbox{Tr}(Ce^{iH(t+i\hbar\beta)/\hbar}Ae^{-iH(t+i\hbar\beta)/\hbar}e^{-\beta H})$

$= \left \langle C\tau_{t+i\hbar\beta}(A) \right \rangle$

que da KMS condición:

$\left \langle \tau_t(A)C \right \rangle = \left \langle C\tau_{t+i\hbar\beta}(A) \right \rangle.$

Answer 2

El enfoque algebraico subsume la formulación estándar de gestión de calidad (todo lo que puede hacerse en este último se puede hacer en el anterior).

Una característica importante de la algebraicas marco es que permite que usted maneje no equivalentes a las representaciones de la álgebra de características observables (que siempre vienen en el campo de la teoría, o cualquier teoría con un número infinito de grados de libertad).

Un ejemplo de un problema abordado solamente en el marco algebraico es el perturbativa de la construcción de la interacción teoría cuántica de campos en arbitraria a nivel mundial hiperbólico spacetimes. La construcción es perturbativa porque cada cantidad de interés que se toma para ser un poder formal de la serie en la interacción de la fuerza. AFAIK, esta construcción solo se ha hecho uso de métodos algebraicos.

Answer 3

Creo que una respuesta ist para obtener conceptual de conocimiento. Desde Dirac era habitual para cuantizar a través de
Teoría clásica en un Hamiltoniano framework => teoría Cuántica
Ya que hay un montón de problemas con este enfoque (QFT), sería bueno no tener que tomar la ruta sobre la teoría clásica. Por lo tanto la teoría algebraica nació.

Bien, asistí a un taller sobre algebraicas QFT el año pasado - no es mi área de investigación, sin embargo. Dijeron que todavía están buscando muy duro para un modelo de trabajo en 4d (tienen buenos modelos para la dimensión 2 y 3). Esa es también la razón por la que no encuentro ninguna de hormigón computable ejemplos.
Esa es una cuestión fundamental - si no encontramos un buen modelo en el futuro, el campo podría ser tan bueno como muerto (como la física de la disciplina).