Torsores en la geometría algebraica?

Question

Creo que estoy confundido acerca de algo de la terminología en la geometría algebraica, específicamente el significado del término "torsor". Supongamos que puedo corregir un esquema de S. quiero trabajar con torsors sobre S. Deje $\mu$ ser una gavilla de abelian grupos de más de S. Entonces, mi interpretación es que un $\mu$-torsor, lo que es, debe ser clasificado por el cohomology gorup $H^1(X; \mu) \cong \check H^1(X; \mu)$.

Ahora supongamos que $\mu$ es representable en la categoría de esquemas a través de S, es decir, hay un grupo de objetos de $$\mathbb{G} \to S$$ en la categoría de los esquemas de más de $S$, y los mapas (más de S) a $\mathbb{G}$ es lo mismo que $\mu$. Un montón de interesante ejemplo surgir de esta manera.

También pensé que, en este caso un torsor a través de S puede ser definida como un esquema de $P \to S$ más de S, con una actuación del grupo $\mathbb{G}$ tal de que a nivel local en S es trivial. I. e. existe una cubierta de $U \to S$ tal que $$ P \times_S U \cong \mathbb{G} \times_S U $$ como espacios a través de S con un $\mathbb{G}$-acción (o más bien como espacios de más de U con un $\mathbb{G} \times_S U$-acción).

La parte que me confunde es que estas dos nociones no parecen estar de acuerdo. Aquí está un ejemplo que creo que demuestra la diferencia. Deje $S= \mathbb{A}^1$ ser afín a la línea (sobre un campo k) y deje $x_1$ e $x_2$ por dos puntos distintos en $S$. Considerar la subscheme $Y = x_1 \cup x_2$, y deje $C_Y$ ser el complemento de Y en el S. Deje $A$ ser su favorito finito abelian grupo que vamos a considerar como una constante gavilla sobre S. a Continuación, tenemos una secuencia exacta de las poleas a través de S, $$0 \to A_{C_Y} \to A \to i_*A \to 0$$ Donde $i_*A(U) = A(U \cap Y)$. Creo que los dos primeros son representables por esquemas más de S, es decir, $$C_Y \times A \cup S \times 0$$ y $S \times A$, donde estamos viendo el conjunto finito $A$ como un esquema sobre $k$ (y estos productos son el esquema teórico de los productos de los esquemas de más de $spec \; k$).

En cualquier caso, el largo de la secuencia exacta en gavilla cohomology muestra que $$H^1(S; A_{C_Y}) \cong \check H^1(S; A_{C_Y}) \cong A$$ y es fácil construir una explícita C$\check{\text{e}}$ch cocycle uso de la cobertura dada por los dos abre consistente en la subschemes $U_i = S \setminus x_i$, para $i = 1,2$.

Ahora el problema viene cuando intento pegar estos para obtener un objeto representable a través de S, es decir, un torsor en el segundo sentido. Entonces estoy buscando en la coequalizer de $$C_Y \times A \rightrightarrows (C_Y\cup C_Y) \times A$$ donde el primer mapa es el de la inclusión y la segunda es la habitual inclusión junto con la adición de un determinado elemento fijo $a \in A$. Esto parece simplemente le da la espalda a la trivial "torsor" $C_Y \times A$.

Estoy haciendo este cálculo equivocado, o es que hay realmente una diferencia entre estas dos nociones de torsor?

Answer 1

Como señaló Brian Conrad arriba, hay una excelente explicación de todo esto en Milne libro Étale cohomology, Sección III.4. No hay mucho punto en la reproducción de los detalles aquí, pero los principales problemas son:

• Usted necesita decidir si un torsor va a ser un esquema de más de S que localmente se parece a un trivial torsor, o simplemente una gavilla por primicia de los conjuntos de más de S que localmente se parece a un trivial torsor. Lo que la gente entiende por "torsor" puede ser cualquiera de estas cosas. Como Milne, dice, "La cuestión de que gavilla torsors surgir a partir de los esquemas es, en general, bastante delicada". Si usted va para la gavilla de la definición, entonces isomorfismo clases de torsors son, de hecho, clasificados por $\check H^1(S,G)$. Ten en cuenta que si G no es conmutativa, entonces usted necesita para definir $\check H^1(S,G)$ apropiadamente como una acentuados.

• Usted necesita decidir lo que la topología de todo esto está ocurriendo en; la definición habitual de torsor utiliza el plano de la topología, aunque si G es suave sobre la S a continuación, puede utilizar el étale topología de lugar.

• Dependiendo de lo que la topología de que usted está utilizando, y lo S y G parecer, puede haber cuestiones acerca de si $\check H^1(S,G)$ e $H^1(S,G)$ son isomorfos.

Answer 2

Así que gracias a los comentarios de Tyler Lawson he sido capaz de averiguar lo que está sucediendo en este ejemplo, así que pensé que debería post como respuesta. Creo que esto es también lo que Torsten Ekedahl estaba recibiendo en su comentario, así.

Yo creo que esto ayuda a ser más claro ya que en este ejemplo es bastante confuso. Para empezar no es el esquema de grupo, $$\mathbb{G} \to S.$$ In this example $S = \mathbb{A}^1$ is the affine line. This is a group object over $S$, so it can be thought of as an $S$-family of group schemes. At the points $x_1$ and $x_2$ it is the trivial group, and at all other points it is some fixed abelian group $A$. For a concrete example we can take $A = \mathbb{Z}/3$, and then $\mathbb{G}$ se ve algo como esto:

La línea inferior representa el $S$. Observe que no hay una única sección global, la sección cero. Distancia desde el set $Y = x_1 \cup x_2$, hay más secciones. Asociados a $\mathbb{G}$ es una gavilla en el sitio de esquemas sobre S. Esta es la misma gavilla llamé $A_{C_Y}$.

Como se indica en la pregunta que nos tenemos que $\check H^1(S; A_{C_Y}) = A$ no es trivial. Incluso podemos construir un no-trivial cocycle el uso de la cubierta que consta de los dos subconjuntos abiertos $$U_1 = S - x_1$$ $$U_2 = S - x_2$$ Observe que $U_{12} = U_1 \times_S U_2 = C_Y$, el complemento de Y en la S. Este es exactamente el subespacio que soporta una sección. La imagen es un poco engañoso aquí parece que hay un montón de secciones sobre $C_Y$. Sin embargo, debido a que estamos utilizando la topología de Zariski sólo tenemos $A$-a muchos de ellos. Tal sección sobre $C_Y$ tiene que ser constante en $C_Y$.

Ahora cada una de estas secciones (de los que hay varios) da lugar a un Cech cocycle y por lo tanto debemos ser capaces de construir un $\mathbb{G}$-torsor sobre $S$ para cada uno de estos. La construcción habitual es que este torsor es dado como la coequalizer de $$U_{12} \times_S \mathbb{G} \rightrightarrows \coprod U_i \times_S \mathbb{G}$$ Cuando un mapa es la habitual inclusión y el otro también es de inclusión (el otro), pero retorcido el uso de la cocycle.

Ahora el cocycle sólo está definida sobre $C_Y$. Y sobre el complemento de $C_Y$, es decir, Y, $\mathbb{G}$ es trivial. Cuenta con una única fibra. Así que restringe la atención a la "interesante", el $C_Y$ part. Luego conseguí que el coequalizer se convierte, $$C_Y \times A \rightrightarrows (C_Y \cup C_Y) \times A$$ que ha trivial coequalizer $C_Y \times A$. Todos estos son hechos reales, a excepción de la parte referente a $C_Y$ siendo la única parte interesante. Yo estaba suponiendo erróneamente que si el torsor era trivial sobre esta parte, entonces tenía que ser isomorfo a $\mathbb{G}$.

Este no es el caso. De alguna manera Tyler comentarios me hizo darme cuenta de esto. El total real de colimit se ve algo como esto:

Aviso que este espacio es un trivial $C_Y \times A$-torsor cuando se limita a $C_Y$, y más de $U_1$ e $U_2$ existen único secciones. Sin embargo, no hay sección global, por lo que no es todo el mundo un objeto trivial. Vamos a llamar a este objeto P.

Un pequeño libro de mantenimiento de muestra que hay una acción de esquemas a través de S, $$\mathbb{G} \times_S P \to P$$ hacer P en un torsor en el segundo sentido.

Así que esto es no un contra ejemplo. Ambas nociones de torsor de acuerdo aquí.

Pero esto plantea la pregunta:

Pregunta: ¿estos dos a priori diferentes conceptos de la torsor de acuerdo en la Geometría Algebraica? Si no ¿cuál es la mejor contador de ejemplo?

No sé la respuesta a esta.