Deje $M$ ser un equipo compacto finito-dimensional suave colector. Tengo una pregunta acerca de la relación entre las afirmaciones de que una función de Morse induce una manija de la descomposición de $M$, y que induce un CW descomposición de $M$.
Una función de Morse induce un identificador de descomposición
Denotar por $X(M;f;s)$ el colector $M$ con $s$--mango unido por $f\colon\,(\partial D^s)\times D^{n-s}\to M$.
Teorema: sea f una $C^\infty$ función en $M$ sin puntos críticos en $f^{-1}[-\epsilon,\epsilon]$ con la excepción de $k$ no degenerada en $f^{-1}(0)$, todos los de índice $s$. A continuación, $f^{-1}[-\infty,\epsilon]$ es diffeomorphic a $X(f^{-1}[-\infty,-\epsilon];f_1,\ldots,f_k;s)$ (para el adecuado fi).
Nota histórica: Esto fue afirmado por Smale en 1961, con la prueba de contorno. Milnor del Morse Teoría, Teorema 3.2 estados y demuestra un débil, homotopy versión del teorema, donde sólo hay un mango en el juego. Me preguntó acerca de una prueba de este teorema en este MO pregunta, y resultó que la primera prueba apareció en Palacio, simplificado lated por Fukui [Matemáticas. Sem. Notas De Kobe Univ. 3 (1975), no. 1, documento no. X, pp 1-4]. Hay una alternativa a prueba en el Apéndice C a Madsen-Tornehave.
Discusión: Aproximadamente, el teorema de los estados que la aprobación de un punto crítico de una función de Morse corresponde a adjuntar un mango. Por lo tanto, una función de Morse induce un identificador de descomposición para $M$.
Una función de Morse induce un CW descomposición
Deje $f$ ser una función de Morse en $M$. La elección de una completa métrica de Riemann en $M$ determina una estratificación de $M$ en las células de la $D(p)$ (el inestable (descendente) colector para un punto crítico de la $p$ de % de$f$) en la que dos puntos se encuentran en el mismo estrato, si están en el mismo inestable colector. Cada una de las $D(p)$ es homeomórficos a una celda abierta, pero el cierre de la $\overline{D(p)}$ puede ser complicado.
Teorema: La unión de compactified inestable colectores $\bigcup \overline{D(p)}$ da un CW descomposición de $M$ que es homeomórficos a $M$.
Nota histórica: Una buena discusión de este teorema puede encontrarse en Bott excelente Morse Teorema Indomable, página 104. Milnor del Morse de la Teoría de la deriva de un homotopy versión de esta declaración (Teorema 3.5) de la homotopy versión de la declaración de que una función de Morse induce un identificador de descomposición (Teorema 3.2). El teorema parece haber sido probada por primera vez por Kalmbach, y fue reforzado recientemente para dar el carácter explícito de mapas de Lizhen Qin (la comprensión de sus papeles es la motivación de mi pregunta).
Las dos declaraciones dadas por encima de buscar a mí como a pesar de que deben ser muy similares, especialmente desde el homotopy versión de la segunda se desprende directamente de la homotopy versión para el primero de Milnor del libro. Pero brevemente la búsqueda a través de la literatura hace que parezca que son prácticamente independiente de los documentos que prueben uno ni siquiera son citados en los documentos que prueben la otra, y las pruebas que se parecen a mí para ser completamente desconectados. No entiendo por qué, probablemente porque estoy teniendo dificultades para liberarse de la imagen intuitiva de la prueba en Milnor del libro, que funciona bien hasta homotopy.
Pregunta: ¿Puede dar un ejemplo, o de la intuición, para un caso en el que uno de los teoremas es difícil, pero la otra es de fácil? Hay un ejemplo para un pacto finito-dimensional colector con una función de Morse tal que el handlebody descomposición se puede leer directamente de la función de Morse, pero la lectura de la CW descomposición se lleva a un incremento sustancial de trabajo? O a la inversa?
Dicho de otra forma, ¿de dónde viene el "hasta homotopy prueba" en la página 23 de Milnor conceptualmente colapso cuando estamos trabajando hasta diffeomorphism en lugar de hasta homotopy?
