Fuerte grupo de isomorfismos

Question

Antecedentes/Motivación

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad. Si $G$ es un número finito (o, en general, discreta) de grupo, vamos a $R[G]$ ser el grupo $R$-álgebra asociada a $G$. El isomorfismo problema para el grupo de los anillos pide condiions en grupos $G$ e $H$ tal que $R[G]\simeq R[H]$.

El grupo de los anillos no son una completa invariable, incluso de grupos finitos; en 2001 Anales de papel, Hertweck descubierto dos grupos finitos $G$ e $H$ con $\mathbb{Z}[G]\simeq \mathbb{Z}[H]$ e $G\not\simeq H$. En general, el grupo de álgebras de más de un campo son aún más débiles invariantes; por ejemplo, si $G$ e $H$ son dos finito abelian grupos de orden $n$,, a continuación,$\mathbb{C}[G]\simeq \mathbb{C}[H]\simeq \mathbb{C}^n$, por ejemplo, por el Teorema del Resto Chino o Artin-Wedderburn.

Tengo curiosidad acerca de un leve fortalecimiento de la isomorfismo problema para el grupo de los anillos. Es decir, si $(S, +, \cdot)$ es un (no necesariamente conmutativo) anillo con unidad, deje que el anillo opuesto $S^{op}=(S, +, \times)$ ser el anillo cuyo subyacente Abelian grupo de menores de la suma es la misma que la de $S$, pero con la estructura multiplicativa inversa, es decir,$a\times b=b\cdot a$; la formación de lo contrario es claramente functorial. Tenga en cuenta que si $R[G]$ es un anillo de grupo, es naturalmente isomorfo a su opuesto, a través del mapa de $\phi_G: g\mapsto g^{-1}$.

El Problema

Ahora si $G, H$ son grupos e $\psi: R[G]\to R[H]$ es un isomorfismo de grupo de los anillos, se puede preguntar si es compatible con la formación del frente anillo---que es, no $\phi_H\circ \psi=\psi^{op}\circ \phi_G$? Decir que $G, H$ tienen fuertemente isomorfo grupo de anillos si ese $\psi$ existe.

Lo que se sabe acerca de los grupos con fuertes isomorfo grupo de anillos sobre anillos conmutativos $R$? Hay no isomorfos grupos finitos $G, H$ con $\mathbb{Z}[G]$ fuertemente isomorfo a $\mathbb{Z}[H]$, por ejemplo? Más débilmente, cuando es $\mathbb{C}[G]\simeq \mathbb{C}[H]$?

Fuerte Isomorfismo es Fuerte

Sólo para convencerse de que el grupo fuerte anillo de isomorfismo es de hecho una condición más fuerte que el grupo de anillo de isomorfismo, tenga en cuenta que $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}]$ es isomorfo a$\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$, pero no fuertemente isomorfo. Esto es debido a que $\phi_{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}$ no es la identidad, sino $\phi_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$ es la identidad en el conjunto subyacente de $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$.

Addendum (4/6/2011)

Andreas Thom señala en su excelente respuesta que en el caso de finito abelian grupos de más de $\mathbb{C}$ no es mucho más difícil que en el caso de grupo habitual anillo isomorphisms. Por desgracia, la pregunta sobre, por ejemplo, $\mathbb{Z}$ es probable que sea extremadamente difícil, ya que el habitual problema de isomorfismo de más de $\mathbb{Z}$ es aparentemente muy duro---yo todavía no entienden Hertweck de la construcción lo suficientemente bien como, por ejemplo, para saber si los grupos se construye sólidamente isomorfo grupo de los anillos. En cualquier caso, me gustaría recibir como respuesta un resumen del estado actual de la técnica para el fuerte isomorfismo más de $\mathbb{Z}$ (por ejemplo, ¿Hertweck la construcción de admitir un fuerte isomorfismo?), o cualquier relativamente reciente referencia de abordar la cuestión más general (como Qiaochu Yuan señala en un comentario, la pregunta es equivalente a preguntar cuando el grupo de anillos de $G, H$ son isomorfos como $*$-álgebras, que me sugiere que la cuestión debe haber sido estudiado por alguien).

Answer 1

Si $G$ es de un número finito de abelian grupo, a continuación, $\mathbb C[G] = \lbrace f \colon \hat G \to \mathbb C \rbrace$ donde $\hat G$ es el Pontrjagin doble de $G$. El isomorfismo $g \mapsto g^{-1}$ se traduce en el mismo mapa en el Pontrjagin dual (básicamente la multiplicación por $-1$ a $\hat G$), pero ahora es un poco más fácil de analizar. Tenga en cuenta también, que hay un no-canónica isomorfismo $G \cong \hat G$.

Por lo tanto, con el fin de encontrar dos personas que no son isomorfos abelian grupos que han fuertemente isomorfo complejo grupo de los anillos, solo tenemos que analizar (en adición a la cardinalidad del grupo) de la órbita de la estructura de la multiplicación por $-1$ en el grupo. De hecho, ahora estamos hablando sólo de un álgebra de la función en un conjunto con algunos $\mathbb Z/2 \mathbb Z$-acción.

Ejemplo: En $\mathbb Z/8\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$, hay exactamente $4$ elementos, que se fija bajo la multiplicación por $-1$, es decir, $(0,0),(4,0),(0,1)$ e $(4,1)$. Lo mismo es cierto para $\mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z$. Aquí, uno tiene $(0,0),(2,0),(0,2)$ e $(2,2)$. Por lo tanto, existe un isomorfismo entre el $\mathbb C[\mathbb Z/8\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z]$ e $\mathbb C[\mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z]$, con respecto a los isomorfismo, que es inducida por $g \mapsto g^{-1}$.

Yo no sé acerca de un ejemplo con coeficientes en $\mathbb Z$.