Me vino la pregunta a la hora de pensar en el (infinitamente generado) de inclinación cotilting correspondencia, donde parece ser relevante.
¿Existe un local presentable abelian categoría con suficiente inyectiva objetos que no es un Grothendieck categoría?
Fondo: un abelian categoría se llama Grothendieck si tiene un generador y satisface el axioma Ab5. El segundo significa que (la categoría es cocomplete y) el filtrado colimit functors son exactas. Cualquier localmente presentable categoría tiene un generador, por lo que la pregunta realmente es acerca de la existencia de local presentable abelian categorías con suficiente inyectiva objetos, pero nonexact filtrada colimits.
Un abelian categoría se dijo para satisfacer Ab3 si es cocomplete. Cualquier localmente presentable categoría es cocomplete por definición. Un abelian categoría se dijo para satisfacer Ab4 si es cocomplete y el subproducto functors son exactas. Cualquier cocomplete abelian categoría con suficiente inyectiva objetos satisface Ab4.
La categoría opuesta a la categoría de espacios vectoriales sobre algunas de campo fijo es cocomplete y tiene suficiente inyectiva objetos, pero no satisface a Ab5 (porque la categoría de espacios vectoriales no satisface Ab5*, es decir, no tienen exacta de filtrado de los límites). La categoría opuesta a la categoría de espacios vectoriales no es localmente presentable, aunque.
Cualquier localmente finitely presentable abelian categoría es Grothendieck, y cualquier Grothendieck abelian categoría a nivel local es presentable, pero a la inversa implicaciones no se sostienen. Cualquier Grothendieck abelian categoría tiene suficiente inyectiva objetos. Hace un localmente presentable abelian categoría con suficiente inyectiva objetos necesitan ser Grothendieck?
EDIT: En respuesta a uno de los comentarios, me permito añadir que la temática ejemplo de un local presentable abelian categoría que no es localmente finitely presentable y, por otra parte, no Grothendieck es la categoría de Ext-$p$-completa (débilmente $p$completo) abelian grupos, como se menciona en el libro de Martin Frankland, la respuesta a esta pregunta: ¿Qué es un ejemplo de un local presentable categoría de "en la naturaleza" que no $\aleph_0$-a nivel local presentable? . Esta categoría no es Grothendieck porque el colimit de la secuencia de monomorphisms $\mathbb Z_p\desbordado{p}\longrightarrow \mathbb Z_p\desbordado{p}\longrightarrow\mathbb Z_p\desbordado{p} \longrightarrow\dotsb$ se desvanece en ella (de ahí filtrada colimits no conservar monomorphisms y no conmuta con los granos).
La Ext-$p$-completa abelian grupos son conocidos como "$p$-contramodule $\mathbb Z$-módulos" o "contramodules sobre la topológico anillo de $p$-ádico enteros $\mathbb Z_p$". En general, diversos contramodule categorías proporcionan ejemplos de local presentable (a menudo, pero no siempre, localmente $\aleph_1$-presentable) abelian categorías que no son localmente finitely presentable, no Grothendieck, y, normalmente, tienen suficiente proyectivas de los objetos, pero no distinto de cero injectives.
Permítanme citar a nuestro papel con Jiří Rosický "Fundas, sobres, y cotorsion teorías localmente presentable abelian categorías y contramodule categorías", Journ. de Álgebra 483 (2017), arXiv versión en https://arxiv.org/abs/1512.08119 y mi preprint "Abelian derecho perpendicular subcategorías en el módulo de categorías", https://arxiv.org/abs/1705.04960 , como referencias local presentable abelian categorías. En particular, según el Ejemplo 4.1(4) en el papel antiguo, no hay un valor distinto de cero inyectiva objetos en la categoría de Ext-$p$-completa abelian grupos.
