Coeficientes en cohomología

Question

(Lo siento si esto es demasiado elemental para este sitio)

Estoy teniendo algunos problemas para entender gavilla cohomology. Se supone que debe proporcionar una teoría de cohomology "con locales coeficiente", y permitir una fácil comparación entre las diferentes teorías como la singular, Cech, de Rham y Alexander Spanier. Lo que no entiendo es: ¿qué es todo el alboroto con los coeficientes que varían con cada conjunto abierto? De hecho, ¿qué es todo el alboroto con el cambio de los coeficientes de ordinario cohomology teoría como en Eilenberg Steenrod?

Homología está tratando de medir los "agujeros" de un espacio; no entero coeficientes suficiente ya? No estoy realmente seguro de lo que cohomology está tratando de medir; al menos creo que el primer singular grupo está tratando de medir algún tipo de "diferencia de potencial", como se explicó en Hatcher del libro. Se pone peor para mí cuando el coeficiente de grupo no es de los enteros. Pero cuando llego a la gavilla cohomology estoy totalmente estupefactos como a lo que se está tratando de medir, y lo útil que la información de que el espacio puede ser extraída. Ahora bien, si se trata de comparaciones de diferentes teorías, puedo vivir con eso...

Por favor alguien puede darme una explicación intuitiva de que el alboroto con todos estos diferentes coeficientes? Por favor, comience con la razón por la que incluso el uso de diferentes coeficientes de Eilenberg Steenrod. Lo siento si esto es demasiado elemental.

Answer 1

Este (primaria y perfectamente estándar) ejemplo puede ayudar a mostrar el poder de poleas con los no-constante coeficientes:

Primero, piense en el círculo de $S^1$. Supongamos que usted quiere entender (real) de la línea de paquetes en el círculo. Sin duda se puede cubrir el círculo con dos contráctiles subconjuntos $U_1$ e $U_2$ (lo que le puede llevar a ser los complementos de los polos norte y sur), y sabemos que cualquier línea de paquete en una contráctiles espacio es trivial. Así que si tienes una línea de paquete de $L$ sobre $S^1$, se puede restringir a cualquiera de las $U_i$, y obtener un trivial paquete $L_i$. $L$ se construye a partir de estos $L_i$ y la manera en que ellos están revisados en conjunto más de $U_1\cap U_2$.

Ahora, ¿qué significa el parche de la $L_i$ juntos más de $U_{12}=U_1\cap U_2$? Significa elegir un isomorfismo $L_1|U_{12}\rightarrow L_2|U_{12}$. Para cualquier $x\in U_{12}$, la restricción de este isomorfismo a la fibra, $L_x$ sobre $x$ es un isomorfismo entre 1-dimensional espacios vectoriales, y así (después de la elección de las bases) puede ser identificado con un elemento de ${\bf R}^*$ (el cero no reales). Por lo tanto, su aplicación de parches consta de un mapa continuo

$$U_{12}\rightarrow {\mathbb R}^*$$

es decir, un Cech 1-cocycle para la gavilla de continuo ${\bf R}^{*}$valores de las funciones.

Ahora, por supuesto, usted podría construir una línea de paquete en alguna otra manera, digamos, comenzando con dos diferentes contráctiles conjuntos de $U_1$ e $U_2$. Cuando dos conjuntos de parches de datos de dar isomorfo línea de paquetes? Un poco de pensamiento revela que la respuesta es: Cuando y sólo cuando la correspondiente cocycles dar la misma clase en

$$H^1(S^1,G^{*})$$

con $ G^{*} $ la gavilla de continuo ${\bf R}^*$valores de las funciones.

Por lo tanto, la línea de los paquetes son clasificados por $H^1(S^1,G^{*})$. Ahora considere la secuencia exacta de las poleas

$$0 \rightarrow G \rightarrow G^*\rightarrow {\bf Z}/2{\bf Z}\rightarrow 0$$

donde $G$ es la gavilla de continuo ${\bf R}$ valores de las funciones, y el mapa de la izquierda es la exponenciación. Sigue la larga secuencia exacta de cohomology, utilice el hecho de que $G$ es acíclico, y a la conclusión de que $H^1(S^1,G^*)=H^1(S^1,{\bf Z}/2{\bf Z})={\bf Z}/2{\bf Z}$. En otras palabras, hay exactamente dos reales de la línea de paquetes de más de $S^1$ --- y de hecho las hay: el cilindro y la banda de Mobius.

Ejercicio: Hacer un cálculo similar para ${\bf CP}^1$ (la esfera de Riemann). A la conclusión de que el conjunto de (complejo) de la línea de paquetes es en una correspondencia con $H^2({\bf CP}^1,{\bf Z})={\bf Z}$.

Answer 2

Tan pronto como usted procede de las primeras ideas de "contar los agujeros" en un espacio más avanzadas problemas en topología algebraica, usted comenzará a apreciar local coeficiente de sistemas. Incluso el paso de $Z$ a los anillos como $Z/2$ no se limita a simplificar los cálculos, sino que le permite detectar un mayor número de fenómenos. Por ejemplo, el mapa de $RP^2 \to S^2$ que se derrumba $RP^1$ a un punto es nulo integral de homología, pero no en $Z/2$-homología. Creo que un par de minutos acerca de por qué esto no es una contradicción a lo universal coeficiente teorema.

Pero el local coeficiente de sistemas son útiles en una variedad de situaciones. La dualidad de poincaré para nonoriented colectores que se ha mencionado (y, de hecho, se arroja luz sobre las orientadas caso así). Luego hay obstrucción de la teoría: Si $f:X \to Y$ es un fibration con fibra de $F$. Deje $g:Z \to Y$ ser un mapa. Un problema básico de homotopy teoría es decidir si puede haber una elevación $h: Y \to X$ de % de $g$ a través de $f$. Hay una secuencia de obstáculos a la existencia de tal cosa; y estas obstrucciones en vivo en $H^n (Z; \pi_{n-1}(F))$, pero con trenzado de los coeficientes de si $Y$ no está simplemente conectado. A continuación, el Leray-Serre espectral de la secuencia que viene a mi mente: se trata de la (co)homología de la base, la fibra y el espacio total de un fibration; y si la base no está simplemente conectado, entonces los coeficientes son inevitables.

Especialmente en los últimos dos situaciones, la introducción de locales coeficiente de sistemas hace las pruebas más transparente incluso en el simplemente conectado caso.

He de reconocer que para la mayoría de los fines de la topología algebraica, la introducción de las poleas (más general de locales coeficiente de sistemas) es excesiva. La clásica áreas donde las poleas son los más importantes son el análisis complejo y la geometría algebraica.

Answer 3

Como Johannes Ebert dice, el clásico de las áreas donde las poleas son la mayoría de la importantes son el análisis complejo y la geometría algebraica.

Hay dos diferentes tipos de poleas uno podría considerar la posibilidad de en un complejo múltiple: edificable poleas (básicamente, localmente constante a lo largo de una estratificación) y quasicoherent poleas (módulos a través de el anillo de funciones). Es una especie de un increíble accidente, y creo que bastante engañoso, que "gavilla " teoría" es útil para el estudio de ambos tipos de poleas. No hay duda de que son teoremas que se aplican a ambos tipos, pero lo más interesante teoremas requieren para asumir uno o el otro.

Esto es en gran parte una cuestión de opinión, y espero recibir comentarios en desacuerdo conmigo! Déjenme darles un ejemplo de lo que quiero decir. Por alguna gavilla en todo, podemos considerar Cech cohomology el uso de una cubierta abierta. En el edificable-gavilla mundo (como que usted estaba recibiendo en la topología), a uno le gusta asumir que las intersecciones de conjuntos en la cubierta son contráctiles, por lo que todos cohomology viene de encolado. En el quasicoherent-gavilla mundo, a uno le gusta asumir que la pone en la portada afín (y que el esquema que se separan, de modo que las intersecciones son igualmente afín), de nuevo para que todos cohomology viene de encolado. Obviamente, uno podría estado general de un teorema acerca de acíclicos cubre o somesuch, pero es fundamental tener en cuenta cómo diferentes de las que son para los dos tipos de poleas.

(N. B. por supuesto que hay gavillas que no son construibles ni quasicoherent, y uno de vez en cuando sí, pero no tan a menudo como estos dos.)

Answer 4

Tuve la impresión de que el libro de Hatcher afirma como motivación que los coeficientes locales permiten que la dualidad de Poincaré funcione correctamente para espacios no orientables.

Answer 5

Una motivación práctica: la homología ordinaria con, digamos, mod2 o coeficientes racionales es a menudo más fácil de calcular (y, por lo tanto, de aplicar) que la homología integral.