¿La "fórmula mágica de Cartan" se debe a Élie o Henri?

Question

La fórmula$\mathcal{L}_X\omega = i_Xd\omega + d(i_X \omega)$ a veces se atribuye a Henri Cartan (por ejemplo, Peter Petersen; Riemannian Geometry 2nd ed .; p.380) y a veces a su padre Élie (por ejemplo, Berline, Getzler, Vergne; Heat Kernels y Dirac Operators, p. 17), y a menudo solo para "Cartan" (por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_derivative ). ¿Quién tiene la razón? ¿Referencia?

Answer 1

Élie seguro. La fórmula se deriva en Les systèmes differentiels extérieurs et leur aplicaciones géométriques que fue escrito probablemente antes de Henri nació. Por CIERTO, aquí hay una muy breve prueba de que Chern me mostró hace mucho tiempo.

• El exterior derivado es un anti-derivación del exterior álgebra y también lo es el producto en el interior de un campo vectorial, mientras que la Mentira derivado de una derivación. (Todos estos son triviales para comprobar.)
• También, el anti-conmutador de dos anti-derivaciones es una derivación. Por lo tanto ambos lados de la "fórmula mágica" son derivaciones.
• Es obvio que dos derivaciones son iguales si están de acuerdo en 0-formas de $f$ y exacta 1-formas $df$, ya que (a nivel local) que generan el exterior de álgebra.
• Por último, es trivial que ambos lados de la fórmula mágica de acuerdo en tales formas.

Answer 2

Ciertamente, Henri Cartan era demasiado joven para contribuir a esta fórmula y su padre Elie ha jugado un papel decisivo, pero no está claro para decidir quién lo inventó. De hecho, la fórmula también se puede encontrar en la Théophile De Donder del libro "Théorie des invariantes intégraux", publicado en 1927. Exterior de formas diferenciales se llama allí "formes intégrales", en el exterior diferencial operador se llama "différentielle intégrale" y se denota por D. Fórmula DD=0 y Stokes de la fórmula son programados. La principal referencia para que es el H. Poincaré (con las contribuciones de Volterra, Cartan, Goursat, De Donder). El exterior del producto se llama "produit intégral" y se denota por [AB] (como en E. Cartan del texto). El interior del producto que se llama "sustitución intégrale" y se denota por E. De Donder indica que esta noción fue introducida por H. Poincaré. A continuación, la fórmula mágica se atribuye a Edouard Goursat ( E. Goursat, Sur quelques puntos de la théorie des invariantes intégraux, J. Math. Pures Appl. (7), t. I (1915), 241-259; Sur ciertas systèmes d''équations aux différentielles totales et sur une généralisation du problème de Pfaff, Ann. Fac. Sci. Toulouse, t. VII (1915)) y De Donder (Th. De Donder, Sur les invariantes intégraux relatifs et leurs aplicaciones a la constitución mathématique, Bull. Acad. Roy. Belgique, Classe des Sciences, fév. 1911, 50--70.).

Answer 3

Se debe a Henri Cartan según 3), Página 193 de: SS Chern, et al, Lectures on Differential Geometry, World Sci, Singapur, 2000.