¿Por qué utilizar series de Fourier en lugar de Taylor?

Question

En los sistemas dinámicos con ecuaciones diferenciales lineales, casi siempre descomponemos la función de variable independiente en senos y cosenos.

Pero supongamos que mi función es suave y periódica. Entonces, ¿qué ventaja obtengo utilizando series de Fourier en lugar de Taylor? Dentro del radio de convergencia, la serie de Taylor converge uniformemente, lo cual es favorable, mientras que la de Fourier puede que sólo converja puntualmente.

Entonces, ¿por qué utilizar Fourier? Me parece más intuitivo utilizar polinomios que senos o cosenos.

Answer 1

1. Los exponenciales complejos son funciones propias de los operadores derivada e integral. Por tanto, si analizamos ecuaciones diferenciales lineales y utilizamos series de Fourier, podemos considerar cada término por separado. Si utilizas series de Taylor, tienes que considerar las interacciones entre un término y otros términos de la serie. (Esta es también la razón por la que a menudo escribimos nuestras series de Fourier en términos de exponenciales complejas en lugar de senos y cosenos).

2. Extrapolación. Si tengo una función $f(x)$ y lo aproximo a una región $[x_1, x_2]$ con una serie de Taylor de longitud finita $F_T(x)$ entonces fuera de $[x_1, x_2]$ la serie de Taylor tenderá a ir al infinito. Si la aproximo con una serie de Fourier de longitud finita, la serie permanecerá acotada como $x\to\infty$ .

Answer 2

Buena pregunta. Una de las razones por las que las expansiones exponenciales complejas (que acaban convirtiéndose en senos y cosenos para problemas de valor real) son más naturales que las expansiones en serie de Taylor es que no requieren elegir un punto especial alrededor del cual expandirse. En muchas situaciones, la ecuación diferencial es invariante traslacional, y no hay un punto natural alrededor del cual realizar la expansión de Taylor, por lo que es necesario elegir un punto arbitrario. Un patrón general en la física es que si la configuración de su problema tiene alguna simetría, que sin duda quiere tomar ventaja de esa simetría en la solución.

Otro problema es que, como ha mencionado El Fotón, los polinomios inevitablemente se hacen ilimitadamente grandes a grandes $x$ lo que no concuerda con la naturaleza periódica de las soluciones. Para cualquier expansión de Taylor de orden finito, es necesario truncar manualmente la solución fuera de un único periodo fundamental, lo que resulta un poco incómodo.

Pero probablemente la razón más importante es que se trata de diferencial y los senos y cosenos tienen la propiedad muy especial de permanecer inalterados (hasta un factor de escala) después de dos derivadas (y la versión exponencial compleja permanece inalterada hasta un factor de escala incluso después de una sola derivada). A medida que adquiera experiencia con las transformadas de Fourier, verá que este hecho le permite convertir muchas ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas que son mucho más fáciles de tratar. Por el contrario, la derivación de un polinomio te lleva a un polinomio de orden inferior, por lo que nunca vuelves al punto de partida, no importa cuántas derivadas tomes. Este hecho te impide aprovechar esa técnica.

Answer 3

Si preguntas por la ventaja práctica, entonces tienes que olvidarte de todo lo que aprendiste en clase de análisis. A un cálculo práctico no le importa si algo es puntual o uniformemente convergente. De hecho, a menudo es muy útil utilizar series asintóticas, que ni siquiera son convergentes puntualmente .

En términos generales, lo que hace que una serie sea útil es la precisión numérica de los resultados que se pueden obtener con ella, utilizando sólo tantos términos como sea práctico. Las nociones "rigurosas" de convergencia no son útiles aquí porque hablan del límite de infinitos términos, que obviamente nunca se alcanza en la práctica. (Por ejemplo, en principio es cierto que $\cos(x)$ se describe en todas partes por su serie de Taylor, pero intente calcular $\cos(10^8)$ utilizando esa serie y ver cuántos términos necesitas para obtener una respuesta razonable. La serie de Taylor es completamente inútil para esta tarea).

Las series de Fourier son útiles en este sentido porque muchos fenómenos de la naturaleza presentan invariancia traslacional espacial o temporal. En los casos más sencillos, esto hace que los problemas sean diagonales en el espacio de Fourier, lo que permite escribir la solución exacta en un solo paso. En casos más complicados, el problema puede hacerse casi diagonal en el espacio de Fourier y tratarse de forma perturbativa.

Answer 4

Desde la perspectiva de los números complejos, las series de Fourier son polinomios o, al menos, series de Taylor. Por ejemplo, tomemos el período real $1$ función $f$ con $f(x) = x$ para $-1/2 \le x < 1/2$ . La serie de Fourier de $f$ es

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\pi n} \sin 2\pi n x.$$

Utilizando números complejos, esto se puede demostrar de la siguiente manera: para $-1/2 < x < 1/2$ tenemos

$$ f(x) = \Im \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\pi n} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} n x} = \Im \frac{1}{\pi} \log(1 + \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} x}) = \Im \frac{1}{\pi} \mathrm{i} (\pi x) = x $$

donde el paso final utiliza que si $\phi$ es el argumento de $1+\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} x}$ entonces $\tan \phi = \frac{\sin 2\pi x}{1+ \cos 2 \pi x} = \tan \pi x$ y así $\phi = \pi x$ por nuestra suposición sobre $x$ . Dado que la serie de Fourier para $f$ es claramente periódica con período $1$ tenemos igualdad para todos $x\not\in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}$ .

Para establecer la relación con las series de Taylor, consideremos

$$F(z) = \frac{\log(1+z)}{\pi} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\pi n} z^n.$$

Hemos visto que $F(\mathrm{e}^{2\pi i x})$ tiene parte imaginaria $f(x)$ . Así que $f$ es la parte imaginaria de la restricción de $F$ hasta el límite del círculo unitario, y la serie de Fourier de $f$ es simplemente la serie de Taylor de $F$ evaluado en el círculo unitario. Esta serie de Taylor converge para todo $z$ con $|z| \le 1$ y $z \not= -1$ y, en consecuencia, la serie de Fourier converge para todo $x \not\in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}$ .

Answer 5

Las series de Fourier le permiten modelar su espacio de soluciones potenciales como un análogo de dimensión infinita de un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita. Todos sus argumentos analíticos formales pueden tener lugar en ese espacio dimensional infinito, donde puede utilizar su intuición euclidiana.

Por ejemplo, en lugar de un producto interior $\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^n u_i \cdot v_i$ de vectores euclidianos, se tiene el producto interior $\langle f,g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{1} f(t) g(t) \, dt$ de funciones. Además, en lugar de la "base ortonormal estándar" $e_1,...,e_n$ de Euclides $n$ -espacio, tienes las "bases ortonormales estándar" $e^{2\pi n t}$ , $n \in \mathbb{Z}$ y esto conduce a Fórmula de Plancherel para el producto interior. Por supuesto, todavía hay que hacer el análisis demostrar la convergencia de las integrales y sumas que se dan en lugar de las sumas finitas de la geometría euclidiana.

Esto tiene muchas aplicaciones muy prácticas. Por ejemplo, los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales pueden entenderse (y de hecho desarrollarse) utilizando herramientas del álgebra lineal, por analogía con el álgebra lineal llevada a cabo en espacios vectoriales euclidianos de dimensión finita.