Si $\log_35=a$ y $\log_54=b$ ¿Qué es? $\log_{60}70$ ?

Question

Un estudiante me envió esta pregunta:

Si $\log_35=a$ y $\log_54=b$ ¿Qué es? $\log_{60}70$ ?

La pregunta se refiere al valor de $\log_{60}70$ en términos de $a$ y $b$ . Ecuaciones para $a$ y $b$ involucrado $2$ , $3$ y $5$ . Así que no estoy seguro de cómo lidiar con $7$ en $\log_{60}70$ utilizando las identidades de los logaritmos. Puede que me esté perdiendo algo muy obvio.

Answer 1

Si existe una función algebraica $f$ con $$ \log_{60}70 =f(a,b)= f\left(\frac{\log 5}{\log 3}, \frac{\log 4}{\log 5}\right)$$ entonces desde $$ \log_{60}70 = \frac{\log 70}{\log 60} = \frac{\log 7+\log 2+\log 5}{2\log 2+\log 3+\log 5},$$ tendríamos $$ \log 7 = f\left(\frac{\log 5}{\log 3}, \frac{\log 4}{\log 5}\right)(2\log 2+\log 3+\log 5) - \log 2 - \log 5 $$ así que $\log 7$ sería algebraico en $\log 2$ , $\log 3$ y $\log 5$ . Pero según la conjetura de Schanuel, los logaritmos de los primos son algebraicamente independientes .